site2wouf.fr : Les bidons du jour

D'après une étude américaine, 20% des habitants de notre planète parle anglais. Oui, les 80% restant n'ont pas compris la question.

Jean Yanne

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les transvasements et le PGCD ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver la notation par couples, l'invariant du PGCD et le lien avec le théorème de Bézout.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°
lundi 5 janvier 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 18 litres, l'autre 10 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
18 L10 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 8 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 9 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 18 L, puis celui du bidon de 10 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 8 L :
GesteBidon de 18 LBidon de 10 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 18 L18 L0 L
2. transvaser le 18 L dans le 10 L8 L10 L
En 2 gestes, on a bien 8 L.
2. Cherchons ce que les gestes autorisés peuvent produire.
L'invariant. Le PGCD de 18 et 10 vaut 2. Observons qu'à chaque instant, le contenu de chaque bidon est un multiple de 2 :
  • au départ, les deux bidons contiennent 0, qui est multiple de 2 ;
  • remplir met 18 ou 10 litres, tous deux multiples de 2 ;
  • vider met 0, multiple de 2 ;
  • transvaser ne fait qu'ajouter à l'un ce qu'il retire à l'autre : une différence de multiples de 2 reste un multiple de 2.
Donc, quoi qu'on fasse et aussi longtemps qu'on s'acharne, chaque bidon contient toujours un multiple de 2.
Or 9 n'est pas un multiple de 2 (9 ÷ 2 ne tombe pas juste). Obtenir 9 litres est donc impossible.
Le point de méthode. On n'a essayé aucune combinaison. On a montré qu'une propriété vraie au départ reste vraie après chaque geste, et qu'elle interdit le but. C'est un raisonnement par invariant — le même que celui du damier et des dominos.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 2 L, 4 L, 6 L, 8 L, 10 L, 12 L, 14 L, 16 L, 18 L.
Ce sont exactement les multiples de 2 compris entre 0 et 18 — et 2 est le PGCD de 18 et 10.
Ici PGCD(18 ; 10) = 2 : seuls les multiples de 2 sont réalisables — soit 10 volumes sur les 19 envisageables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

J'ai réalisé cette activité en Python, en utilisant xhtml2pdf pour la version PDF des activités. Mon travail est sous licence Creative commons.

La version actuelle est la version 3.2.0 (28/11/2023)

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal