site2wouf.fr : Les bidons du jour

Les ruptures difficiles avec les femmes, c'est souvent à cause de la conjugaison. A chaque fois qu'on leur a dit je t'aime, on aurait du préciser que c'était du présent.

Jean Yanne

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Fiche n°
vendredi 27 février 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 16 litres, l'autre 12 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
16 L12 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 4 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 8 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 16 L, puis celui du bidon de 12 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 4 L :
GesteBidon de 16 LBidon de 12 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 16 L16 L0 L
2. transvaser le 16 L dans le 12 L4 L12 L
En 2 gestes, on a bien 4 L.
2. Pour obtenir 8 L :
GesteBidon de 16 LBidon de 12 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 12 L0 L12 L
2. transvaser le 12 L dans le 16 L12 L0 L
3. remplir le bidon de 12 L12 L12 L
4. transvaser le 12 L dans le 16 L16 L8 L
En 4 gestes, l'un des bidons contient exactement 8 litres.
16 L16 L12 L8 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 4 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 4 L, 8 L, 12 L, 16 L.
Ce sont exactement les multiples de 4 compris entre 0 et 16 — et 4 est le PGCD de 16 et 12.
Ici PGCD(16 ; 12) = 4 : seuls les multiples de 4 sont réalisables — soit 5 volumes sur les 17 envisageables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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