site2wouf.fr : Les bidons du jour

La faculté de citer est un substitut commode à l'intelligence.

Somerset Maugham

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Fiche n°
jeudi 19 mars 2026

Les deux bidons, la règle du jeu et les trois questions :

Les deux bidons

Vous disposez de deux bidons sans aucune graduation : l'un contient 19 litres, l'autre 3 litres. Vous êtes au bord d'une rivière.
19 L3 L
Trois gestes seulement sont autorisés :
  • remplir complètement un bidon à la rivière ;
  • vider entièrement un bidon par terre ;
  • transvaser un bidon dans l'autre, jusqu'à ce que le premier soit vide ou que le second soit plein.
Impossible donc de « remplir à moitié » : on ne peut pas mesurer à l'œil, seuls comptent les bidons pleins ou vides.
Les trois questions montent en difficulté : la dernière demande de raisonner sur tous les volumes à la fois.
  1. Pour se lancer : obtenir exactement 16 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes.
  2. Obtenir exactement 8 litres dans l'un des deux bidons. Décrire les gestes — ou démontrer que c'est impossible.
  3. Quels sont TOUS les volumes que l'on peut obtenir avec ces deux bidons ? Justifier.

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Corrigé :

Les deux bidons — Correction

Comment noter les choses. On décrit la situation par un couple : le contenu du bidon de 19 L, puis celui du bidon de 3 L. On part de (0 ; 0), et chaque geste fait passer d'un couple au suivant. Le problème devient alors un parcours, et non plus une devinette.
1. Pour obtenir 16 L :
GesteBidon de 19 LBidon de 3 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 19 L19 L0 L
2. transvaser le 19 L dans le 3 L16 L3 L
En 2 gestes, on a bien 16 L.
2. Pour obtenir 8 L :
GesteBidon de 19 LBidon de 3 L
Départ0 L0 L
1. remplir le bidon de 3 L0 L3 L
2. transvaser le 3 L dans le 19 L3 L0 L
3. remplir le bidon de 3 L3 L3 L
4. transvaser le 3 L dans le 19 L6 L0 L
5. remplir le bidon de 3 L6 L3 L
6. transvaser le 3 L dans le 19 L9 L0 L
7. remplir le bidon de 3 L9 L3 L
8. transvaser le 3 L dans le 19 L12 L0 L
9. remplir le bidon de 3 L12 L3 L
10. transvaser le 3 L dans le 19 L15 L0 L
11. remplir le bidon de 3 L15 L3 L
12. transvaser le 3 L dans le 19 L18 L0 L
13. remplir le bidon de 3 L18 L3 L
14. transvaser le 3 L dans le 19 L19 L2 L
15. vider le bidon de 19 L0 L2 L
16. transvaser le 3 L dans le 19 L2 L0 L
17. remplir le bidon de 3 L2 L3 L
18. transvaser le 3 L dans le 19 L5 L0 L
19. remplir le bidon de 3 L5 L3 L
20. transvaser le 3 L dans le 19 L8 L0 L
En 20 gestes, l'un des bidons contient exactement 8 litres.
19 L8 L3 L0 L
La situation finale.
C'est la solution la plus courte : aucune suite de moins de 20 gestes n'y parvient. D'autres chemins existent, plus longs.
3. Listons ce que l'on peut atteindre. En explorant toutes les situations possibles, les volumes obtenus sont :
0 L, 1 L, 2 L, 3 L, 4 L, 5 L, 6 L, 7 L, 8 L, 9 L, 10 L, 11 L, 12 L, 13 L, 14 L, 15 L, 16 L, 17 L, 18 L, 19 L.
Ce sont exactement les multiples de 1 compris entre 0 et 19 — et 1 est le PGCD de 19 et 3.
Ici PGCD(19 ; 3) = 1 : tous les volumes entiers de 0 à 19 litres sont réalisables.
Le résultat général. Avec deux bidons de contenances a et b, on peut obtenir exactement les multiples de PGCD(a ; b), et rien d'autre. En particulier, si a et b n'ont aucun diviseur commun autre que 1, tous les volumes entiers sont atteignables — aussi étonnant que cela paraisse avec deux bidons non gradués.
Pour aller plus loin. Ce résultat porte un nom : c'est le théorème de Bézout. Obtenir un volume v revient à trouver deux entiers u et w tels que u × a + w × b = v — remplir u fois le premier bidon et vider w fois le second.

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