Exercice 1 — Correction
Pour tester si un nombre est solution, on remplace x par ce nombre dans chaque membre séparément, on calcule les deux résultats, puis on les compare. On ne résout rien : c'est une simple vérification.
1. On remplace x par −1 :
Membre de gauche : 9x − 3 = 9 × (−1) − 3 = −12
Membre de droite : 2x − 10 = 2 × (−1) − 10 = −12
Les deux membres sont égaux (−12 = −12) : −1 est solution de l'équation.
2. On remplace x par 0 :
Membre de gauche : 9x − 3 = 9 × 0 − 3 = −3
Membre de droite : 2x − 10 = 2 × 0 − 10 = −10
Les deux membres ne sont pas égaux (−3 ≠ −10) : 0 n'est pas solution de l'équation.
3.
Parmi les deux nombres testés, seul −1 est solution de l'équation.
Attention : avoir trouvé une solution ne prouve pas qu'il n'y en a pas d'autres. Ici l'équation est du premier degré, donc elle en admet exactement une — mais c'est la résolution, pas le test, qui le démontre.
Exercice 2 — Correction
Méthode. On isole x en deux temps : d'abord on fait passer le terme constant de l'autre côté (en lui changeant de signe), puis on divise les deux membres par le coefficient de x. Tout ce qu'on fait à un membre, on le fait à l'autre.
1.
−9x − 2 = −47
−9x = −47 + 2
−9x = −45
x = 459
x = 5
La solution est 5.
Vérification : −9 × 5 − 2 = −47 ✔
2.
−2x + 5 = 7
−2x = 7 − 5
−2x = 2
x = −22
x = −1
La solution est −1.
Vérification : −2 × (−1) + 5 = 7 ✔
3.
−9x − 6 = 12
−9x = 12 + 6
−9x = 18
x = −189
x = −2
La solution est −2.
Vérification : −9 × (−2) − 6 = 12 ✔
Exercice 3 — Correction
Méthode. On regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre. Un terme qui change de membre change de signe. On termine comme une équation ordinaire, par une division.
1.
7x − 10 = 4x − 7
7x − 4x = −7 + 10
3x = 3
x = 33
x = 1
La solution est 1.
Vérification : à gauche 7 × 1 − 10 = −3, à droite 4 × 1 − 7 = −3 ✔
2.
5x − 6 = 3x − 22
5x − 3x = −22 + 6
2x = −16
x = −162
x = −8
La solution est −8.
Vérification : à gauche 5 × (−8) − 6 = −46, à droite 3 × (−8) − 22 = −46 ✔
3.
2x = x − 4
2x − x = −4 + 0
x = −4
x = −4
La solution est −4.
Vérification : à gauche 2 × (−4) = −8, à droite (−4) − 4 = −8 ✔
Exercice 4 — Correction
Méthode en trois temps. (1) On nomme l'inconnue et on précise ce qu'elle représente, avec son unité. (2) On traduit l'énoncé par une égalité. (3) On résout, puis on revient à la question posée : la solution de l'équation n'est pas toujours la réponse attendue.
1. On appelle x le nombre d'entrées.
Formule A : 8x
Formule B : 51 + 5x
2. Les deux formules coûtent le même prix lorsque :
8x = 51 + 5x
8x − 5x = 51
3x = 51
x = 513 = 17
Les deux formules reviennent au même prix pour 17 entrées (soit 136 € dans les deux cas).
3. Pour 20 entrées :
Formule A : 8 × 20 = 160 €
Formule B : 51 + 5 × 20 = 151 €
La formule B est la plus avantageuse pour 20 entrées (écart de 9 €).
À retenir : l'abonnement devient rentable au-delà du point d'équilibre, ici 17 entrées — pas avant. C'est exactement ce que calcule l'équation.
Exercice 5 — Correction
Propriété du produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On traite donc chaque facteur séparément.
1. Le produit est nul, donc l'un des deux facteurs est nul :
x + 2 = 0 ou x − 7 = 0
x = −2 ou x = 7
x = −2 ou x = 7
L'équation admet deux solutions : −2 et 7.
Équation x² = k. Si k > 0, elle a deux solutions opposées, √k et −√k. Si k = 0, une seule : 0. Si k < 0, aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.
2. Ici 49 > 0, et 49 = 7² :
x = 7 ou x = −7
Les solutions sont 7 et −7.
3. Ici −49 < 0 :
L'équation x² = −49 n'a aucune solution, car le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.
Erreur classique : ne donner qu'une seule solution à x² = 49. Il y en a bien deux, 7 et −7, puisque (−7)² = 49 aussi.
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