🏷 Thème : équations

Ce qu'il faut savoir

Une équation est une égalité qui contient une inconnue. La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de cette inconnue qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions. Le pluriel n'est pas une précaution de style — une équation peut avoir une solution, plusieurs, ou aucune, et écrire « la solution » avant de le savoir, c'est déjà affirmer qu'il n'y en a qu'une.

Les deux règles, et rien d'autre

Une équation fonctionne comme une balance : ce qu'on fait d'un côté, on doit le faire de l'autre. Tout le reste en découle.

Le fameux « on fait passer de l'autre côté en changeant le signe » n'est pas une troisième règle : c'est un raccourci de la première. Le savoir évite de l'appliquer à tort — par exemple à un facteur, où c'est la règle 2 qui s'applique, avec sa condition.

Reconnaître le type d'équation

Deux formes seulement au collège, et chacune commande une méthode :

• Premier degré — du type ax + b = cx + d. On regroupe les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre, puis on divise par le coefficient obtenu. Elle a exactement une solution dès que ce coefficient n'est pas nul.
• Produit nul — du type A × B = 0. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : on résout alors A = 0 puis B = 0, ce qui donne en général deux solutions. Encore faut-il que l'équation soit factorisée — c'est souvent la vraie première étape.

Mettre un problème en équation

Au brevet, l'équation est rarement donnée toute faite : il faut la construire. Quatre temps, dans cet ordre :

• Choisir et nommer l'inconnue, explicitement : « soit x le nombre de…  ». Une phrase, mais elle vaut des points et elle évite la moitié des erreurs suivantes.
• Traduire l'énoncé en une égalité, morceau par morceau.
• Résoudre.
• Revenir à la question posée et répondre par une phrase. La valeur de x n'est pas toujours la réponse attendue — si x est le prix d'un article et qu'on demande le prix de trois, le travail n'est pas fini.

Les erreurs classiques

• 1.Ne pas traiter les deux membres à égalité. Retrancher 3 d'un côté sans le faire de l'autre rompt la balance. L'égalité obtenue n'a plus aucun rapport avec celle de départ, et tout ce qui suit est faux même si les calculs sont justes.
• 2.Diviser par une expression qui peut être nulle. De x² = x, diviser les deux membres par x donne x = 1 — et fait perdre la solution x = 0. La règle 2 exige un diviseur non nul : tant qu'on ignore si x l'est, on n'a pas le droit. Il faut factoriser et passer par le produit nul.
• 3.Appliquer la règle du produit nul à autre chose que zéro. De A × B = 6, on ne peut pas déduire A = 6 ou B = 6 — il y a une infinité de produits qui valent 6. La règle ne fonctionne qu'avec 0, parce que zéro est le seul nombre qui rende un produit nul dès qu'un facteur l'est.
• 4.Développer une forme déjà factorisée. Face à (x − 2)(x + 5) = 0, le réflexe de développer détruit précisément ce qui permettait de conclure en deux lignes. Une équation factorisée égale à zéro est déjà à l'endroit.
• 5.Perdre le signe en « faisant passer ». Le raccourci est commode et fait perdre beaucoup de points. En cas de doute, revenir à la règle 1 et écrire l'opération sur les deux membres : c'est deux secondes de plus et zéro erreur de signe.
• 6.Ne pas vérifier. Remplacer l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ est le seul contrôle fiable — et il détecte aussi bien une erreur de calcul qu'une erreur de mise en équation.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• Le calcul littéral : réduire, développer, et surtout factoriser, sans quoi le produit nul reste hors d'atteinte.
• Les nombres relatifs et les règles de signes.
• Les fractions, pour les coefficients qui ne tombent pas juste.
• Les priorités opératoires.

Ce que ça prépare

• Les fonctions affines et linéaires : trouver un antécédent, comparer deux tarifs, c'est résoudre une équation.
• Les inéquations, qui suivent les mêmes règles à une exception près — multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.
• Les problèmes de géométrie où une longueur inconnue se calcule par Pythagore puis par une équation.
• Au lycée : les systèmes, le second degré, et la résolution algébrique en général.