Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 7,23 = 2,4
- 26,411 = 2,4
- 31,213 = 2,4
- 33,614 = 2,4
Tous les quotients sont égaux à 2,4.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,4.
Tableau B — on calcule de même :
- 13,53 = 4,5
- 31,57 = 4,5
- 378 = 4,625
- 40,59 = 4,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 4,5, alors que la colonne « 8 » donne 4,625.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
10,4013 = 0,80
Un stylo coûte 0,80 €.
2. Prix de 16 stylos : on multiplie le prix unitaire par 16.
0,80 × 16 = 12,80
16 stylos coûtent 12,80 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 10,40 × 1613 = 12,80, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 13 | 1 | 16 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 10,40 | 0,80 | 12,80 | 80,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,80 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 15 % de 140 :
140 × 15100 = 140 × 15100 = 21
Il y a 21 demi-pensionnaires.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 90 sur 500 :
90500 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 36 représentent 8 % du total :
36 × 1008 = 450
L'effectif total est de 450 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 450, c'est 450 × 0,08 = 36. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
120 × 1,08 = 129,60
Le nouveau prix d'une guitare est de 129,60 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
200 × 0,8 = 160,00
Le prix soldé d'une trottinette est de 160 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 160 et l'augmenter de 20 % donne 192, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
112,0080 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 100 000 :
9 × 100 000 = 900 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
900 000100 000 = 9
La distance réelle est de 9 km.
2. 6 km = 600 000 cm. On divise par 100 000 :
600 000100 000 = 6
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 6 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 100 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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