Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 52 = 2,5
- 22,59 = 2,5
- 2510 = 2,5
- 3514 = 2,5
Tous les quotients sont égaux à 2,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 45 = 0,8
- 4,86 = 0,8
- 7,29 = 0,8
- 10,510 = 1,05
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,8, alors que la colonne « 10 » donne 1,05.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
37,807 = 5,40
Un croissant coûte 5,40 €.
2. Prix de 30 croissants : on multiplie le prix unitaire par 30.
5,40 × 30 = 162,00
30 croissants coûtent 162 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 37,80 × 307 = 162,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 7 | 1 | 30 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 37,80 | 5,40 | 162,00 | 540,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 5,40 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 400 :
400 × 30100 = 400 × 30100 = 120
Il y a 120 romans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 90 sur 500 :
90500 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des livres.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 15 % du total :
30 × 10015 = 200
L'effectif total est de 200 livres.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 200, c'est 200 × 0,15 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
180 × 1,12 = 201,60
Le nouveau prix d'un appareil photo est de 201,60 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
80 × 0,6 = 48,00
Le prix soldé d'une paire de baskets est de 48 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 48 et l'augmenter de 40 % donne 67,2, et non 80.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
69,0060 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 50 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 50 000 :
7,2 × 50 000 = 360 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
360 000100 000 = 3,6
La distance réelle est de 3,6 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 50 000 :
450 00050 000 = 9
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 9 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 50 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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