Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 7,23 = 2,4
- 2410 = 2,4
- 31,213 = 2,4
- 33,614 = 2,4
Tous les quotients sont égaux à 2,4.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,4.
Tableau B — on calcule de même :
- 126 = 2
- 2010 = 2
- 2412 = 2
- 3114 ≈ 2,214
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2, alors que la colonne « 14 » donne 2,214.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
5,4012 = 0,45
Une place de cinéma coûte 0,45 €.
2. Prix de 33 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 33.
0,45 × 33 = 14,85
33 places de cinéma coûtent 14,85 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 5,40 × 3312 = 14,85, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 12 | 1 | 33 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 5,40 | 0,45 | 14,85 | 45,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,45 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 20 % de 500 :
500 × 20100 = 500 × 20100 = 100
Il y a 100 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 144 sur 800 :
144800 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 24 représentent 10 % du total :
24 × 10010 = 240
L'effectif total est de 240 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 240, c'est 240 × 0,1 = 24. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 10100 = 1 + 0,1 = 1,1
120 × 1,1 = 132,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 132 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
240 × 0,9 = 216,00
Le prix soldé d'une paire de baskets est de 216 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 216 et l'augmenter de 10 % donne 237,6, et non 240.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
100,0080 = 1,25
On compare ce coefficient à 1 :
1,25 − 1 = 0,25, soit 25 %
Le taux d'évolution est de 25 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 6100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 6100 = 0,06 litre par kilomètre.
1. Pour 400 km :
6 × 400100 = 24
La voiture consomme 24 L.
2. Coût du trajet :
24 × 1,9 = 45,6 = 45,6
Le trajet coûte environ 45,60 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,06 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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