Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 10,53 = 3,5
- 17,55 = 3,5
- 24,57 = 3,5
- 45,513 = 3,5
Tous les quotients sont égaux à 3,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 104 = 2,5
- 30,511 ≈ 2,773
- 3012 = 2,5
- 32,513 = 2,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,5, alors que la colonne « 11 » donne 2,773.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
31,507 = 4,50
Une place de cinéma coûte 4,50 €.
2. Prix de 33 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 33.
4,50 × 33 = 148,50
33 places de cinéma coûtent 148,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 31,50 × 337 = 148,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 7 | 1 | 33 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 31,50 | 4,50 | 148,50 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 480 :
480 × 30100 = 480 × 30100 = 144
Il y a 144 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 108 sur 600 :
108600 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 72 représentent 12 % du total :
72 × 10012 = 600
L'effectif total est de 600 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 600, c'est 600 × 0,12 = 72. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
320 × 1,3 = 416,00
Le nouveau prix d'un smartphone est de 416 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
75 × 0,6 = 45,00
Le prix soldé d'une trottinette est de 45 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 45 et l'augmenter de 40 % donne 63, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
225,00250 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 4,5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 4,5100 = 0,045 litre par kilomètre.
1. Pour 450 km :
4,5 × 450100 = 20,25
La voiture consomme 20,25 L.
2. Coût du trajet :
20,25 × 1,85 = 37,4625 ≈ 37,46
Le trajet coûte environ 37,46 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,045 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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