Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 93 = 3
- 186 = 3
- 248 = 3
- 4214 = 3
Tous les quotients sont égaux à 3.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3.
Tableau B — on calcule de même :
- 122 = 6
- 488 = 6
- 6310 = 6,3
- 7212 = 6
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 6, alors que la colonne « 10 » donne 6,3.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
2,706 = 0,45
Une cartouche d'encre coûte 0,45 €.
2. Prix de 20 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 20.
0,45 × 20 = 9,00
20 cartouches d'encre coûtent 9 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 2,70 × 206 = 9,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 6 | 1 | 20 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 2,70 | 0,45 | 9,00 | 45,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,45 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 240 :
240 × 40100 = 240 × 40100 = 96
Il y a 96 à temps partiel.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 72 sur 300 :
72300 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des salariés.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 18 représentent 4 % du total :
18 × 1004 = 450
L'effectif total est de 450 salariés.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 450, c'est 450 × 0,04 = 18. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
60 × 1,05 = 63,00
Le nouveau prix d'un smartphone est de 63 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
200 × 0,7 = 140,00
Le prix soldé d'une guitare est de 140 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 140 et l'augmenter de 30 % donne 182, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
30,0050 = 0,6
On compare ce coefficient à 1 :
0,6 − 1 = −0,4, soit −40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 1602 = 80
La vitesse moyenne est de 80 km/h.
2. En 0 h 30 min, soit 0,5 h :
d = 80 × 0,5 = 40
Le train parcourt 40 km.
3. Pour 240 km :
t = 24080 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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