Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 12 = 0,5
- 24 = 0,5
- 36 = 0,5
- 48 = 0,5
Tous les quotients sont égaux à 0,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 1,52 = 0,75
- 34 = 0,75
- 8,257 ≈ 1,179
- 10,514 = 0,75
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,75, alors que la colonne « 7 » donne 1,179.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule cartouche d'encre :
6,204 = 1,55
Une cartouche d'encre coûte 1,55 €.
2. Prix de 33 cartouches d'encre : on multiplie le prix unitaire par 33.
1,55 × 33 = 51,15
33 cartouches d'encre coûtent 51,15 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 6,20 × 334 = 51,15, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cartouches d'encre | 4 | 1 | 33 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 6,20 | 1,55 | 51,15 | 155,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'une cartouche d'encre, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 45 % de 260 :
260 × 45100 = 260 × 45100 = 117
Il y a 117 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 48 sur 400 :
48400 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 20 représentent 10 % du total :
20 × 10010 = 200
L'effectif total est de 200 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 200, c'est 200 × 0,1 = 20. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 25100 = 1 + 0,25 = 1,25
80 × 1,25 = 100,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 100 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
125 × 0,75 = 93,75
Le prix soldé d'un casque audio est de 93,75 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 93,75 et l'augmenter de 25 % donne 117,19, et non 125.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
138,00120 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
10020 = 5
Le débit du robinet est de 5 L/min.
2. En 30 min :
5 × 30 = 150
Il coule 150 L.
3. Pour 500 L :
5005 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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