Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 62 = 3
- 93 = 3
- 155 = 3
- 186 = 3
Tous les quotients sont égaux à 3.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3.
Tableau B — on calcule de même :
- 14,46 = 2,4
- 17,87 ≈ 2,543
- 28,812 = 2,4
- 33,614 = 2,4
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 7 » donne 2,543.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
54,0012 = 4,50
Un croissant coûte 4,50 €.
2. Prix de 38 croissants : on multiplie le prix unitaire par 38.
4,50 × 38 = 171,00
38 croissants coûtent 171 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 54,00 × 3812 = 171,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 12 | 1 | 38 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 54,00 | 4,50 | 171,00 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 35 % de 240 :
240 × 35100 = 240 × 35100 = 84
Il y a 84 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 64 sur 400 :
64400 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 18 représentent 12 % du total :
18 × 10012 = 150
L'effectif total est de 150 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 150, c'est 150 × 0,12 = 18. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
320 × 1,3 = 416,00
Le nouveau prix d'un casque audio est de 416 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
75 × 0,8 = 60,00
Le prix soldé d'une trottinette est de 60 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 60 et l'augmenter de 20 % donne 72, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
32,0040 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
19216 = 12
Le débit du robinet est de 12 L/min.
2. En 45 min :
12 × 45 = 540
Il coule 540 L.
3. Pour 1200 L :
120012 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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