Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 96 = 1,5
- 10,57 = 1,5
- 128 = 1,5
- 19,513 = 1,5
Tous les quotients sont égaux à 1,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 28 = 0,25
- 2,259 = 0,25
- 5,510 = 0,55
- 3,514 = 0,25
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,25, alors que la colonne « 10 » donne 0,55.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
18,755 = 3,75
Un stylo coûte 3,75 €.
2. Prix de 36 stylos : on multiplie le prix unitaire par 36.
3,75 × 36 = 135,00
36 stylos coûtent 135 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 18,75 × 365 = 135,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 5 | 1 | 36 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 18,75 | 3,75 | 135,00 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 60 % de 260 :
260 × 60100 = 260 × 60100 = 156
Il y a 156 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 64 sur 400 :
64400 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 12 représentent 5 % du total :
12 × 1005 = 240
L'effectif total est de 240 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 5 % de 240, c'est 240 × 0,05 = 12. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
60 × 1,12 = 67,20
Le nouveau prix d'un casque audio est de 67,20 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
125 × 0,7 = 87,50
Le prix soldé d'un aspirateur est de 87,50 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 87,5 et l'augmenter de 30 % donne 113,75, et non 125.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
200,00250 = 0,8
On compare ce coefficient à 1 :
0,8 − 1 = −0,2, soit −20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 50 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 50 000 :
7,2 × 50 000 = 360 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
360 000100 000 = 3,6
La distance réelle est de 3,6 km.
2. 3 km = 300 000 cm. On divise par 50 000 :
300 00050 000 = 6
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 6 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 50 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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