Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 4,84 = 1,2
- 65 = 1,2
- 7,26 = 1,2
- 15,613 = 1,2
Tous les quotients sont égaux à 1,2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,2.
Tableau B — on calcule de même :
- 304 = 7,5
- 37,55 = 7,5
- 557 ≈ 7,857
- 10514 = 7,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 7,5, alors que la colonne « 7 » donne 7,857.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
45,0012 = 3,75
Un stylo coûte 3,75 €.
2. Prix de 22 stylos : on multiplie le prix unitaire par 22.
3,75 × 22 = 82,50
22 stylos coûtent 82,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 45,00 × 2212 = 82,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 12 | 1 | 22 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 45,00 | 3,75 | 82,50 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 75 % de 180 :
180 × 75100 = 180 × 75100 = 135
Il y a 135 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 210 sur 750 :
210750 × 100 = 0,28 × 100 = 28
Cela représente 28 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 72 représentent 12 % du total :
72 × 10012 = 600
L'effectif total est de 600 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 600, c'est 600 × 0,12 = 72. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
150 × 1,08 = 162,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 162 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
200 × 0,75 = 150,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 150 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 150 et l'augmenter de 25 % donne 187,5, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
225,00150 = 1,5
On compare ce coefficient à 1 :
1,5 − 1 = 0,5, soit 50 %
Le taux d'évolution est de 50 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 292,53,25 = 90
La vitesse moyenne est de 90 km/h.
2. En 2 h, soit 2 h :
d = 90 × 2 = 180
Le train parcourt 180 km.
3. Pour 270 km :
t = 27090 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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