Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 63 = 2
- 84 = 2
- 126 = 2
- 2211 = 2
Tous les quotients sont égaux à 2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2.
Tableau B — on calcule de même :
- 3,24 = 0,8
- 45 = 0,8
- 7,67 ≈ 1,086
- 6,48 = 0,8
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,8, alors que la colonne « 7 » donne 1,086.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
6,255 = 1,25
Un stylo coûte 1,25 €.
2. Prix de 29 stylos : on multiplie le prix unitaire par 29.
1,25 × 29 = 36,25
29 stylos coûtent 36,25 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 6,25 × 295 = 36,25, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 5 | 1 | 29 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 6,25 | 1,25 | 36,25 | 125,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,25 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 25 % de 140 :
140 × 25100 = 140 × 25100 = 35
Il y a 35 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 36 sur 300 :
36300 × 100 = 0,12 × 100 = 12
Cela représente 12 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 60 représentent 10 % du total :
60 × 10010 = 600
L'effectif total est de 600 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 600, c'est 600 × 0,1 = 60. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
80 × 1,05 = 84,00
Le nouveau prix d'un casque audio est de 84 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
150 × 0,9 = 135,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 135 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 135 et l'augmenter de 10 % donne 148,5, et non 150.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
69,0060 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
28824 = 12
Le débit du robinet est de 12 L/min.
2. En 40 min :
12 × 40 = 480
Il coule 480 L.
3. Pour 1200 L :
120012 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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