Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 4,82 = 2,4
- 14,46 = 2,4
- 26,411 = 2,4
- 31,213 = 2,4
Tous les quotients sont égaux à 2,4.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,4.
Tableau B — on calcule de même :
- 366 = 6
- 549 = 6
- 6611 = 6
- 85,514 ≈ 6,107
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 6, alors que la colonne « 14 » donne 6,107.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
9,306 = 1,55
Un cahier coûte 1,55 €.
2. Prix de 20 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 20.
1,55 × 20 = 31,00
20 cahiers coûtent 31 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 9,30 × 206 = 31,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 6 | 1 | 20 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 9,30 | 1,55 | 31,00 | 155,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,55 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 20 % de 400 :
400 × 20100 = 400 × 20100 = 80
Il y a 80 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 156 sur 300 :
156300 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 70 représentent 20 % du total :
70 × 10020 = 350
L'effectif total est de 350 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 350, c'est 350 × 0,2 = 70. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
120 × 1,12 = 134,40
Le nouveau prix d'une trottinette est de 134,40 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
400 × 0,8 = 320,00
Le prix soldé d'une console de jeu est de 320 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 320 et l'augmenter de 20 % donne 384, et non 400.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
170,00200 = 0,85
On compare ce coefficient à 1 :
0,85 − 1 = −0,15, soit −15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 3002,5 = 120
La vitesse moyenne est de 120 km/h.
2. En 1 h, soit 1 h :
d = 120 × 1 = 120
Le train parcourt 120 km.
3. Pour 360 km :
t = 360120 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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