Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 52 = 2,5
- 17,57 = 2,5
- 2510 = 2,5
- 3012 = 2,5
Tous les quotients sont égaux à 2,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 31,57 = 4,5
- 49,511 = 4,5
- 5412 = 4,5
- 6514 ≈ 4,643
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 4,5, alors que la colonne « 14 » donne 4,643.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
45,0010 = 4,50
Une place de cinéma coûte 4,50 €.
2. Prix de 35 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 35.
4,50 × 35 = 157,50
35 places de cinéma coûtent 157,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 45,00 × 3510 = 157,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 10 | 1 | 35 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 45,00 | 4,50 | 157,50 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 25 % de 160 :
160 × 25100 = 160 × 25100 = 40
Il y a 40 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 208 sur 400 :
208400 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 45 représentent 15 % du total :
45 × 10015 = 300
L'effectif total est de 300 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 300, c'est 300 × 0,15 = 45. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 10100 = 1 + 0,1 = 1,1
120 × 1,1 = 132,00
Le nouveau prix d'un aspirateur est de 132 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
300 × 0,6 = 180,00
Le prix soldé d'une paire de baskets est de 180 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 180 et l'augmenter de 40 % donne 252, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
75,0050 = 1,5
On compare ce coefficient à 1 :
1,5 − 1 = 0,5, soit 50 %
Le taux d'évolution est de 50 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 100 000 :
5,5 × 100 000 = 550 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
550 000100 000 = 5,5
La distance réelle est de 5,5 km.
2. 3 km = 300 000 cm. On divise par 100 000 :
300 000100 000 = 3
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 3 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 100 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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