Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 1,62 = 0,8
- 4,86 = 0,8
- 8,811 = 0,8
- 10,413 = 0,8
Tous les quotients sont égaux à 0,8.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,8.
Tableau B — on calcule de même :
- 72 = 3,5
- 16,54 = 4,125
- 216 = 3,5
- 4914 = 3,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3,5, alors que la colonne « 4 » donne 4,125.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
22,506 = 3,75
Un cahier coûte 3,75 €.
2. Prix de 40 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 40.
3,75 × 40 = 150,00
40 cahiers coûtent 150 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 22,50 × 406 = 150,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 6 | 1 | 40 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 22,50 | 3,75 | 150,00 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 200 :
200 × 30100 = 200 × 30100 = 60
Il y a 60 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 90 sur 250 :
90250 × 100 = 0,36 × 100 = 36
Cela représente 36 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 18 représentent 12 % du total :
18 × 10012 = 150
L'effectif total est de 150 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 150, c'est 150 × 0,12 = 18. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
150 × 1,05 = 157,50
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 157,50 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
150 × 0,8 = 120,00
Le prix soldé d'un vélo est de 120 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 120 et l'augmenter de 20 % donne 144, et non 150.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
165,00150 = 1,1
On compare ce coefficient à 1 :
1,1 − 1 = 0,1, soit 10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 100 000 :
4 × 100 000 = 400 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
400 000100 000 = 4
La distance réelle est de 4 km.
2. 12 km = 1 200 000 cm. On divise par 100 000 :
1 200 000100 000 = 12
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 12 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 100 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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