Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 810 = 0,8
- 8,811 = 0,8
- 9,612 = 0,8
- 11,214 = 0,8
Tous les quotients sont égaux à 0,8.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,8.
Tableau B — on calcule de même :
- 152 = 7,5
- 304 = 7,5
- 557 ≈ 7,857
- 9012 = 7,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 7,5, alors que la colonne « 7 » donne 7,857.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
93,7515 = 6,25
Une place de cinéma coûte 6,25 €.
2. Prix de 33 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 33.
6,25 × 33 = 206,25
33 places de cinéma coûtent 206,25 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 93,75 × 3315 = 206,25, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 15 | 1 | 33 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 93,75 | 6,25 | 206,25 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 75 % de 140 :
140 × 75100 = 140 × 75100 = 105
Il y a 105 à temps partiel.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 384 sur 600 :
384600 × 100 = 0,64 × 100 = 64
Cela représente 64 % des salariés.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 60 représentent 15 % du total :
60 × 10015 = 400
L'effectif total est de 400 salariés.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 400, c'est 400 × 0,15 = 60. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 10100 = 1 + 0,1 = 1,1
240 × 1,1 = 264,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 264 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
300 × 0,7 = 210,00
Le prix soldé d'un appareil photo est de 210 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 210 et l'augmenter de 30 % donne 273, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
24,0040 = 0,6
On compare ce coefficient à 1 :
0,6 − 1 = −0,4, soit −40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 20 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 20 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 20 000 :
6 × 20 000 = 120 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
120 000100 000 = 1,2
La distance réelle est de 1,2 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 20 000 :
150 00020 000 = 7,5
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 7,5 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 20 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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