Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 3,24 = 0,8
- 5,67 = 0,8
- 810 = 0,8
- 8,811 = 0,8
Tous les quotients sont égaux à 0,8.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,8.
Tableau B — on calcule de même :
- 92 = 4,5
- 33,57 ≈ 4,786
- 58,513 = 4,5
- 6314 = 4,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 4,5, alors que la colonne « 7 » donne 4,786.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
48,609 = 5,40
Un croissant coûte 5,40 €.
2. Prix de 30 croissants : on multiplie le prix unitaire par 30.
5,40 × 30 = 162,00
30 croissants coûtent 162 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 48,60 × 309 = 162,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 9 | 1 | 30 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 48,60 | 5,40 | 162,00 | 540,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 5,40 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 80 % de 400 :
400 × 80100 = 400 × 80100 = 320
Il y a 320 romans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 156 sur 300 :
156300 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des livres.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 10 % du total :
30 × 10010 = 300
L'effectif total est de 300 livres.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 300, c'est 300 × 0,1 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 25100 = 1 + 0,25 = 1,25
320 × 1,25 = 400,00
Le nouveau prix d'un appareil photo est de 400 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
75 × 0,75 = 56,25
Le prix soldé d'un vélo est de 56,25 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 56,25 et l'augmenter de 25 % donne 70,31, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
72,00120 = 0,6
On compare ce coefficient à 1 :
0,6 − 1 = −0,4, soit −40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 4804 = 120
La vitesse moyenne est de 120 km/h.
2. En 1 h 30 min, soit 1,5 h :
d = 120 × 1,5 = 180
Le train parcourt 180 km.
3. Pour 360 km :
t = 360120 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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