Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 12 = 0,5
- 1,53 = 0,5
- 3,57 = 0,5
- 4,59 = 0,5
Tous les quotients sont égaux à 0,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 72 = 3,5
- 17,55 = 3,5
- 31,59 = 3,5
- 4312 ≈ 3,583
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3,5, alors que la colonne « 12 » donne 3,583.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule clé USB :
12,804 = 3,20
Une clé USB coûte 3,20 €.
2. Prix de 32 clés USB : on multiplie le prix unitaire par 32.
3,20 × 32 = 102,40
32 clés USB coûtent 102,40 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 12,80 × 324 = 102,40, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de clés USB | 4 | 1 | 32 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 12,80 | 3,20 | 102,40 | 320,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,20 : c'est le prix d'une clé USB, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 80 % de 480 :
480 × 80100 = 480 × 80100 = 384
Il y a 384 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 416 sur 800 :
416800 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 20 % du total :
30 × 10020 = 150
L'effectif total est de 150 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 150, c'est 150 × 0,2 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
320 × 1,2 = 384,00
Le nouveau prix d'un casque audio est de 384 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
75 × 0,7 = 52,50
Le prix soldé d'un casque audio est de 52,50 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 52,5 et l'augmenter de 30 % donne 68,25, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
350,00250 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
60024 = 25
Le débit du robinet est de 25 L/min.
2. En 45 min :
25 × 45 = 1125
Il coule 1125 L.
3. Pour 2500 L :
250025 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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