Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 2,43 = 0,8
- 3,24 = 0,8
- 6,48 = 0,8
- 11,214 = 0,8
Tous les quotients sont égaux à 0,8.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,8.
Tableau B — on calcule de même :
- 1,52 = 0,75
- 3,755 = 0,75
- 4,56 = 0,75
- 10,2511 ≈ 0,932
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,75, alors que la colonne « 11 » donne 0,932.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
5,257 = 0,75
Un cahier coûte 0,75 €.
2. Prix de 21 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 21.
0,75 × 21 = 15,75
21 cahiers coûtent 15,75 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 5,25 × 217 = 15,75, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 7 | 1 | 21 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 5,25 | 0,75 | 15,75 | 75,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,75 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 180 :
180 × 30100 = 180 × 30100 = 54
Il y a 54 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 70 sur 250 :
70250 × 100 = 0,28 × 100 = 28
Cela représente 28 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 36 représentent 15 % du total :
36 × 10015 = 240
L'effectif total est de 240 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 240, c'est 240 × 0,15 = 36. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
180 × 1,15 = 207,00
Le nouveau prix d'un manteau est de 207 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
200 × 0,6 = 120,00
Le prix soldé d'un vélo est de 120 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 120 et l'augmenter de 40 % donne 168, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
45,0050 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 20 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 20 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 20 000 :
7,2 × 20 000 = 144 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
144 000100 000 = 1,44
La distance réelle est de 1,44 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 20 000 :
150 00020 000 = 7,5
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 7,5 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 20 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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