Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 65 = 1,2
- 7,26 = 1,2
- 8,47 = 1,2
- 14,412 = 1,2
Tous les quotients sont égaux à 1,2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,2.
Tableau B — on calcule de même :
- 24 = 0,5
- 48 = 0,5
- 6,59 ≈ 0,722
- 714 = 0,5
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,5, alors que la colonne « 9 » donne 0,722.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
14,0010 = 1,40
Un cahier coûte 1,40 €.
2. Prix de 16 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 16.
1,40 × 16 = 22,40
16 cahiers coûtent 22,40 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 14,00 × 1610 = 22,40, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 10 | 1 | 16 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 14,00 | 1,40 | 22,40 | 140,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 1,40 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 75 % de 240 :
240 × 75100 = 240 × 75100 = 180
Il y a 180 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 48 sur 200 :
48200 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 20 % du total :
30 × 10020 = 150
L'effectif total est de 150 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 150, c'est 150 × 0,2 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
240 × 1,3 = 312,00
Le nouveau prix d'un vélo est de 312 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
150 × 0,8 = 120,00
Le prix soldé d'un manteau est de 120 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 120 et l'augmenter de 20 % donne 144, et non 150.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
144,00120 = 1,2
On compare ce coefficient à 1 :
1,2 − 1 = 0,2, soit 20 %
Le taux d'évolution est de 20 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 5100 = 0,05 litre par kilomètre.
1. Pour 240 km :
5 × 240100 = 12
La voiture consomme 12 L.
2. Coût du trajet :
12 × 1,9 = 22,8 = 22,8
Le trajet coûte environ 22,80 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,05 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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