Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 52,57 = 7,5
- 608 = 7,5
- 9012 = 7,5
- 97,513 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 2,42 = 1,2
- 3,63 = 1,2
- 65 = 1,2
- 10,97 ≈ 1,557
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,2, alors que la colonne « 7 » donne 1,557.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
68,7511 = 6,25
Un cahier coûte 6,25 €.
2. Prix de 36 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 36.
6,25 × 36 = 225,00
36 cahiers coûtent 225 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 68,75 × 3611 = 225,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 11 | 1 | 36 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 68,75 | 6,25 | 225,00 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 60 % de 360 :
360 × 60100 = 360 × 60100 = 216
Il y a 216 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 512 sur 800 :
512800 × 100 = 0,64 × 100 = 64
Cela représente 64 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 28 représentent 8 % du total :
28 × 1008 = 350
L'effectif total est de 350 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 350, c'est 350 × 0,08 = 28. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 25100 = 1 + 0,25 = 1,25
180 × 1,25 = 225,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 225 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
240 × 0,8 = 192,00
Le prix soldé d'un casque audio est de 192 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 192 et l'augmenter de 20 % donne 230,4, et non 240.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
138,00120 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 100 000 :
12,5 × 100 000 = 1 250 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
1 250 000100 000 = 12,5
La distance réelle est de 12,5 km.
2. 4,5 km = 450 000 cm. On divise par 100 000 :
450 000100 000 = 4,5
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 4,5 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 100 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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