Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 22,53 = 7,5
- 37,55 = 7,5
- 7510 = 7,5
- 9012 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 7,23 = 2,4
- 16,87 = 2,4
- 21,69 = 2,4
- 28,411 ≈ 2,582
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 11 » donne 2,582.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
37,807 = 5,40
Un croissant coûte 5,40 €.
2. Prix de 31 croissants : on multiplie le prix unitaire par 31.
5,40 × 31 = 167,40
31 croissants coûtent 167,40 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 37,80 × 317 = 167,40, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 7 | 1 | 31 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 37,80 | 5,40 | 167,40 | 540,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 5,40 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 60 % de 120 :
120 × 60100 = 120 × 60100 = 72
Il y a 72 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 104 sur 200 :
104200 × 100 = 0,52 × 100 = 52
Cela représente 52 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 45 représentent 10 % du total :
45 × 10010 = 450
L'effectif total est de 450 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 10 % de 450, c'est 450 × 0,1 = 45. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 15 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 15100 = 1 + 0,15 = 1,15
60 × 1,15 = 69,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 69 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
200 × 0,6 = 120,00
Le prix soldé d'un appareil photo est de 120 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 120 et l'augmenter de 40 % donne 168, et non 200.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
92,0080 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Le débit est une grandeur composée : débit = volumedurée. Le volume écoulé est proportionnel à la durée, et le débit est le coefficient de proportionnalité.
1. On divise le volume par la durée :
6010 = 6
Le débit du robinet est de 6 L/min.
2. En 40 min :
6 × 40 = 240
Il coule 240 L.
3. Pour 600 L :
6006 = 100
Il faut 100 min, soit 1 h 40 min.
Vigilance sur les unités : un débit en L/min multiplié par une durée en minutes donne bien des litres. Si la durée est donnée en heures, il faut d'abord la convertir en minutes.
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