Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 37,55 = 7,5
- 67,59 = 7,5
- 7510 = 7,5
- 9012 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 123 = 4
- 205 = 4
- 246 = 4
- 4611 ≈ 4,182
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 4, alors que la colonne « 11 » donne 4,182.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
68,7511 = 6,25
Un croissant coûte 6,25 €.
2. Prix de 33 croissants : on multiplie le prix unitaire par 33.
6,25 × 33 = 206,25
33 croissants coûtent 206,25 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 68,75 × 3311 = 206,25, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 11 | 1 | 33 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 68,75 | 6,25 | 206,25 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 5 % de 400 :
400 × 5100 = 400 × 5100 = 20
Il y a 20 romans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 90 sur 500 :
90500 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des livres.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 90 représentent 15 % du total :
90 × 10015 = 600
L'effectif total est de 600 livres.
Vérification (à faire systématiquement) : 15 % de 600, c'est 600 × 0,15 = 90. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
40 × 1,05 = 42,00
Le nouveau prix d'un manteau est de 42 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
75 × 0,7 = 52,50
Le prix soldé d'une guitare est de 52,50 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 52,5 et l'augmenter de 30 % donne 68,25, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
102,00120 = 0,85
On compare ce coefficient à 1 :
0,85 − 1 = −0,15, soit −15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 5,5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 5,5100 = 0,055 litre par kilomètre.
1. Pour 200 km :
5,5 × 200100 = 11
La voiture consomme 11 L.
2. Coût du trajet :
11 × 1,9 = 20,9 = 20,9
Le trajet coûte environ 20,90 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,055 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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