Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 152 = 7,5
- 22,53 = 7,5
- 304 = 7,5
- 608 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 3,63 = 1,2
- 5,84 = 1,45
- 65 = 1,2
- 1210 = 1,2
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,2, alors que la colonne « 4 » donne 1,45.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul sachet de croquettes :
2,706 = 0,45
Un sachet de croquettes coûte 0,45 €.
2. Prix de 23 sachets de croquettes : on multiplie le prix unitaire par 23.
0,45 × 23 = 10,35
23 sachets de croquettes coûtent 10,35 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 2,70 × 236 = 10,35, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de sachets de croquettes | 6 | 1 | 23 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 2,70 | 0,45 | 10,35 | 45,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,45 : c'est le prix d'un sachet de croquettes, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 260 :
260 × 40100 = 260 × 40100 = 104
Il y a 104 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 60 sur 250 :
60250 × 100 = 0,24 × 100 = 24
Cela représente 24 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 80 représentent 20 % du total :
80 × 10020 = 400
L'effectif total est de 400 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 400, c'est 400 × 0,2 = 80. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 20100 = 1 + 0,2 = 1,2
240 × 1,2 = 288,00
Le nouveau prix d'un manteau est de 288 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
125 × 0,8 = 100,00
Le prix soldé d'un manteau est de 100 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 100 et l'augmenter de 20 % donne 120, et non 125.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
92,0080 = 1,15
On compare ce coefficient à 1 :
1,15 − 1 = 0,15, soit 15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 2704,5 = 60
La vitesse moyenne est de 60 km/h.
2. En 1 h, soit 1 h :
d = 60 × 1 = 60
Le train parcourt 60 km.
3. Pour 180 km :
t = 18060 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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