Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 2,55 = 0,5
- 36 = 0,5
- 5,511 = 0,5
- 612 = 0,5
Tous les quotients sont égaux à 0,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 0,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 3,24 = 0,8
- 7,98 ≈ 0,988
- 9,612 = 0,8
- 11,214 = 0,8
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 0,8, alors que la colonne « 8 » donne 0,988.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
17,507 = 2,50
Un croissant coûte 2,50 €.
2. Prix de 16 croissants : on multiplie le prix unitaire par 16.
2,50 × 16 = 40,00
16 croissants coûtent 40 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 17,50 × 167 = 40,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 7 | 1 | 16 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 17,50 | 2,50 | 40,00 | 250,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 2,50 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 260 :
260 × 40100 = 260 × 40100 = 104
Il y a 104 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 80 sur 250 :
80250 × 100 = 0,32 × 100 = 32
Cela représente 32 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 20 % du total :
30 × 10020 = 150
L'effectif total est de 150 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 150, c'est 150 × 0,2 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
240 × 1,08 = 259,20
Le nouveau prix d'un manteau est de 259,20 €.
2. Diminution de 40 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 40100 = 1 − 0,4 = 0,6
150 × 0,6 = 90,00
Le prix soldé d'une guitare est de 90 €.
Piège classique : une baisse de 40 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 40 %. Reprendre 90 et l'augmenter de 40 % donne 126, et non 150.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
70,0050 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 100 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 100 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 100 000 :
5,5 × 100 000 = 550 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
550 000100 000 = 5,5
La distance réelle est de 5,5 km.
2. 24 km = 2 400 000 cm. On divise par 100 000 :
2 400 000100 000 = 24
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 24 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 100 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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