Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 4,53 = 1,5
- 96 = 1,5
- 1812 = 1,5
- 19,513 = 1,5
Tous les quotients sont égaux à 1,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 3,63 = 1,2
- 8,55 = 1,7
- 10,89 = 1,2
- 13,211 = 1,2
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,2, alors que la colonne « 5 » donne 1,7.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
67,5015 = 4,50
Un cahier coûte 4,50 €.
2. Prix de 19 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 19.
4,50 × 19 = 85,50
19 cahiers coûtent 85,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 67,50 × 1915 = 85,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 15 | 1 | 19 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 67,50 | 4,50 | 85,50 | 450,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 4,50 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 10 % de 160 :
160 × 10100 = 160 × 10100 = 16
Il y a 16 licenciés en compétition.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 90 sur 500 :
90500 × 100 = 0,18 × 100 = 18
Cela représente 18 % des adhérents.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 30 représentent 20 % du total :
30 × 10020 = 150
L'effectif total est de 150 adhérents.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 150, c'est 150 × 0,2 = 30. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
320 × 1,05 = 336,00
Le nouveau prix d'un smartphone est de 336 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
300 × 0,7 = 210,00
Le prix soldé d'une console de jeu est de 210 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 210 et l'augmenter de 30 % donne 273, et non 300.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
84,0060 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 4,5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 4,5100 = 0,045 litre par kilomètre.
1. Pour 500 km :
4,5 × 500100 = 22,5
La voiture consomme 22,5 L.
2. Coût du trajet :
22,5 × 1,8 = 40,5 = 40,5
Le trajet coûte environ 40,50 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,045 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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