Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 3,63 = 1,2
- 9,68 = 1,2
- 13,211 = 1,2
- 15,613 = 1,2
Tous les quotients sont égaux à 1,2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,2.
Tableau B — on calcule de même :
- 93 = 3
- 248 = 3
- 31,510 = 3,15
- 3311 = 3
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3, alors que la colonne « 10 » donne 3,15.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule clé USB :
33,759 = 3,75
Une clé USB coûte 3,75 €.
2. Prix de 40 clés USB : on multiplie le prix unitaire par 40.
3,75 × 40 = 150,00
40 clés USB coûtent 150 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 33,75 × 409 = 150,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de clés USB | 9 | 1 | 40 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 33,75 | 3,75 | 150,00 | 375,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 3,75 : c'est le prix d'une clé USB, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 35 % de 240 :
240 × 35100 = 240 × 35100 = 84
Il y a 84 abonnés.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 80 sur 500 :
80500 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des spectateurs.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 16 représentent 4 % du total :
16 × 1004 = 400
L'effectif total est de 400 spectateurs.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 400, c'est 400 × 0,04 = 16. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 30100 = 1 + 0,3 = 1,3
80 × 1,3 = 104,00
Le nouveau prix d'une guitare est de 104 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
240 × 0,75 = 180,00
Le prix soldé d'une trottinette est de 180 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 180 et l'augmenter de 25 % donne 225, et non 240.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
180,00120 = 1,5
On compare ce coefficient à 1 :
1,5 − 1 = 0,5, soit 50 %
Le taux d'évolution est de 50 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 200 000 :
9 × 200 000 = 1 800 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
1 800 000100 000 = 18
La distance réelle est de 18 km.
2. 18 km = 1 800 000 cm. On divise par 200 000 :
1 800 000200 000 = 9
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 9 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 200 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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