Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 2,42 = 1,2
- 4,84 = 1,2
- 10,89 = 1,2
- 14,412 = 1,2
Tous les quotients sont égaux à 1,2.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,2.
Tableau B — on calcule de même :
- 122 = 6
- 37,56 = 6,25
- 6611 = 6
- 7813 = 6
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 6, alors que la colonne « 6 » donne 6,25.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
26,4012 = 2,20
Une place de cinéma coûte 2,20 €.
2. Prix de 25 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 25.
2,20 × 25 = 55,00
25 places de cinéma coûtent 55 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 26,40 × 2512 = 55,00, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 12 | 1 | 25 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 26,40 | 2,20 | 55,00 | 220,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 2,20 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 75 % de 360 :
360 × 75100 = 360 × 75100 = 270
Il y a 270 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 96 sur 300 :
96300 × 100 = 0,32 × 100 = 32
Cela représente 32 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 10 représentent 5 % du total :
10 × 1005 = 200
L'effectif total est de 200 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 5 % de 200, c'est 200 × 0,05 = 10. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
150 × 1,08 = 162,00
Le nouveau prix d'un casque audio est de 162 €.
2. Diminution de 20 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 20100 = 1 − 0,2 = 0,8
50 × 0,8 = 40,00
Le prix soldé d'un vélo est de 40 €.
Piège classique : une baisse de 20 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 20 %. Reprendre 40 et l'augmenter de 20 % donne 48, et non 50.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
70,0050 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 2402,5 = 96
La vitesse moyenne est de 96 km/h.
2. En 0 h 30 min, soit 0,5 h :
d = 96 × 0,5 = 48
Le train parcourt 48 km.
3. Pour 288 km :
t = 28896 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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