Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 3,753 = 1,25
- 54 = 1,25
- 13,7511 = 1,25
- 17,514 = 1,25
Tous les quotients sont égaux à 1,25.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,25.
Tableau B — on calcule de même :
- 16,87 = 2,4
- 19,28 = 2,4
- 24,19 ≈ 2,678
- 2410 = 2,4
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 2,4, alors que la colonne « 9 » donne 2,678.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'une seule place de cinéma :
75,0012 = 6,25
Une place de cinéma coûte 6,25 €.
2. Prix de 26 places de cinéma : on multiplie le prix unitaire par 26.
6,25 × 26 = 162,50
26 places de cinéma coûtent 162,50 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 75,00 × 2612 = 162,50, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de places de cinéma | 12 | 1 | 26 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 75,00 | 6,25 | 162,50 | 625,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 6,25 : c'est le prix d'une place de cinéma, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 30 % de 140 :
140 × 30100 = 140 × 30100 = 42
Il y a 42 venus en train.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 180 sur 500 :
180500 × 100 = 0,36 × 100 = 36
Cela représente 36 % des festivaliers.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 24 représentent 8 % du total :
24 × 1008 = 300
L'effectif total est de 300 festivaliers.
Vérification (à faire systématiquement) : 8 % de 300, c'est 300 × 0,08 = 24. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 12 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 12100 = 1 + 0,12 = 1,12
320 × 1,12 = 358,40
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 358,40 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
75 × 0,9 = 67,50
Le prix soldé d'une console de jeu est de 67,50 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 67,5 et l'augmenter de 10 % donne 74,25, et non 75.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
280,00200 = 1,4
On compare ce coefficient à 1 :
1,4 − 1 = 0,4, soit 40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une hausse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
La vitesse moyenne est une grandeur composée : v = distancedurée. Distance et durée sont proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Attention aux unités : des km et des h donnent des km/h.
1. On divise la distance par la durée :
v = 4324,5 = 96
La vitesse moyenne est de 96 km/h.
2. En 1 h 30 min, soit 1,5 h :
d = 96 × 1,5 = 144
Le train parcourt 144 km.
3. Pour 288 km :
t = 28896 = 3
Il lui faut 3 h.
Conversion utile : une durée décimale se convertit en minutes en multipliant la partie décimale par 60 (0,25 h = 15 min ; 0,5 h = 30 min ; 0,75 h = 45 min).
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