Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 32 = 1,5
- 4,53 = 1,5
- 128 = 1,5
- 1812 = 1,5
Tous les quotients sont égaux à 1,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 1,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 183 = 6
- 44,57 ≈ 6,357
- 6010 = 6
- 6611 = 6
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 6, alors que la colonne « 7 » donne 6,357.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul stylo :
2,255 = 0,45
Un stylo coûte 0,45 €.
2. Prix de 29 stylos : on multiplie le prix unitaire par 29.
0,45 × 29 = 13,05
29 stylos coûtent 13,05 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 2,25 × 295 = 13,05, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de stylos | 5 | 1 | 29 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 2,25 | 0,45 | 13,05 | 45,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,45 : c'est le prix d'un stylo, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 10 % de 180 :
180 × 10100 = 180 × 10100 = 18
Il y a 18 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 120 sur 750 :
120750 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 8 représentent 4 % du total :
8 × 1004 = 200
L'effectif total est de 200 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 4 % de 200, c'est 200 × 0,04 = 8. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 5 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 5100 = 1 + 0,05 = 1,05
240 × 1,05 = 252,00
Le nouveau prix d'un manteau est de 252 €.
2. Diminution de 10 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 10100 = 1 − 0,1 = 0,9
125 × 0,9 = 112,50
Le prix soldé d'une guitare est de 112,50 €.
Piège classique : une baisse de 10 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 10 %. Reprendre 112,5 et l'augmenter de 10 % donne 123,75, et non 125.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
54,0060 = 0,9
On compare ce coefficient à 1 :
0,9 − 1 = −0,1, soit −10 %
Le taux d'évolution est de 10 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
Une échelle 1 / 50 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 50 000 cm dans la réalité. Distance sur la carte et distance réelle sont proportionnelles.
1. On multiplie la distance sur la carte par 50 000 :
8,4 × 50 000 = 420 000 cm
On convertit en km (1 km = 100 000 cm) :
420 000100 000 = 4,2
La distance réelle est de 4,2 km.
2. 1,5 km = 150 000 cm. On divise par 50 000 :
150 00050 000 = 3
Sur la carte, ces deux lieux sont distants de 3 cm.
3.
Oui : pour passer de la carte à la réalité, on multiplie toujours par le même nombre, 50 000. C'est le coefficient de proportionnalité.
Erreur fréquente : oublier la conversion. L'échelle relie des cm à des cm. Il faut convertir en km seulement à la fin (1 km = 100 000 cm).
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