Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 152 = 7,5
- 456 = 7,5
- 9012 = 7,5
- 10514 = 7,5
Tous les quotients sont égaux à 7,5.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 7,5.
Tableau B — on calcule de même :
- 8,47 = 1,2
- 10,89 = 1,2
- 14,211 ≈ 1,291
- 14,412 = 1,2
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 1,2, alors que la colonne « 11 » donne 1,291.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul cahier :
15,407 = 2,20
Un cahier coûte 2,20 €.
2. Prix de 39 cahiers : on multiplie le prix unitaire par 39.
2,20 × 39 = 85,80
39 cahiers coûtent 85,80 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 15,40 × 397 = 85,80, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de cahiers | 7 | 1 | 39 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 15,40 | 2,20 | 85,80 | 220,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 2,20 : c'est le prix d'un cahier, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 40 % de 320 :
320 × 40100 = 320 × 40100 = 128
Il y a 128 internes.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 64 sur 400 :
64400 × 100 = 0,16 × 100 = 16
Cela représente 16 % des élèves.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 24 représentent 12 % du total :
24 × 10012 = 200
L'effectif total est de 200 élèves.
Vérification (à faire systématiquement) : 12 % de 200, c'est 200 × 0,12 = 24. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 25100 = 1 + 0,25 = 1,25
180 × 1,25 = 225,00
Le nouveau prix d'une trottinette est de 225 €.
2. Diminution de 30 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 30100 = 1 − 0,3 = 0,7
150 × 0,7 = 105,00
Le prix soldé d'un casque audio est de 105 €.
Piège classique : une baisse de 30 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 30 %. Reprendre 105 et l'augmenter de 30 % donne 136,5, et non 150.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
42,5050 = 0,85
On compare ce coefficient à 1 :
0,85 − 1 = −0,15, soit −15 %
Le taux d'évolution est de 15 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 5100 = 0,05 litre par kilomètre.
1. Pour 200 km :
5 × 200100 = 10
La voiture consomme 10 L.
2. Coût du trajet :
10 × 1,9 = 19 = 19
Le trajet coûte environ 19 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,05 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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