Exercice 1 — Correction
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on le retrouve en divisant chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première.
Tableau A — on calcule chaque quotient :
- 93 = 3
- 3311 = 3
- 3612 = 3
- 4214 = 3
Tous les quotients sont égaux à 3.
Le tableau A est un tableau de proportionnalité, de coefficient 3.
Tableau B — on calcule de même :
- 10,53 = 3,5
- 144 = 3,5
- 31,59 = 3,5
- 41,511 ≈ 3,773
Les quotients ne sont pas tous égaux : la première colonne donne 3,5, alors que la colonne « 11 » donne 3,773.
Le tableau B n'est pas un tableau de proportionnalité.
Astuce : il suffit de deux quotients différents pour conclure que le tableau n'est pas proportionnel. En revanche, pour affirmer qu'il l'est, il faut vérifier toutes les colonnes.
Exercice 2 — Correction
Méthode 1 — le passage par l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie par la quantité voulue. C'est la méthode la plus sûre.
1. Prix d'un seul croissant :
1,804 = 0,45
Un croissant coûte 0,45 €.
2. Prix de 36 croissants : on multiplie le prix unitaire par 36.
0,45 × 36 = 16,20
36 croissants coûtent 16,20 €.
Méthode 2 — le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : le prix cherché vaut 1,80 × 364 = 16,20, ce qui donne bien le même résultat.
3. Tableau complété :
| Nombre de croissants | 4 | 1 | 36 | 100 |
|---|
| Prix (en €) | 1,80 | 0,45 | 16,20 | 45,00 |
Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,45 : c'est le prix d'un croissant, en €.
Exercice 3 — Correction
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t100. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : c'est une situation de proportionnalité.
1. On cherche 45 % de 160 :
160 × 45100 = 160 × 45100 = 72
Il y a 72 moins de 20 ans.
Calculer le pourcentage que représente une part : on divise la part par le total, puis on multiplie par 100.
2. La part est 192 sur 300 :
192300 × 100 = 0,64 × 100 = 64
Cela représente 64 % des habitants.
Retrouver le total connaissant la part et le taux : on divise la part par le taux, puis on multiplie par 100 (on « remonte » le pourcentage).
3. 120 représentent 20 % du total :
120 × 10020 = 600
L'effectif total est de 600 habitants.
Vérification (à faire systématiquement) : 20 % de 600, c'est 600 × 0,2 = 120. C'est bien la part de départ.
Exercice 4 — Correction
Coefficient multiplicateur. Augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100. Diminuer de t %, c'est multiplier par 1 − t100. Une seule multiplication remplace le calcul de la part puis l'addition : c'est plus rapide et moins risqué.
1. Augmentation de 8 % : le coefficient multiplicateur est
1 + 8100 = 1 + 0,08 = 1,08
250 × 1,08 = 270,00
Le nouveau prix d'une paire de baskets est de 270 €.
2. Diminution de 25 % : le coefficient multiplicateur est
1 − 25100 = 1 − 0,25 = 0,75
240 × 0,75 = 180,00
Le prix soldé d'un smartphone est de 180 €.
Piège classique : une baisse de 25 % ne se « rattrape » pas par une hausse de 25 %. Reprendre 180 et l'augmenter de 25 % donne 225, et non 240.
3. On calcule d'abord le coefficient multiplicateur, en divisant le prix d'arrivée par le prix de départ :
120,00200 = 0,6
On compare ce coefficient à 1 :
0,6 − 1 = −0,4, soit −40 %
Le taux d'évolution est de 40 %, il s'agit d'une baisse.
À retenir : un coefficient supérieur à 1 signale une hausse, un coefficient inférieur à 1 une baisse. Le taux d'évolution s'obtient toujours en retranchant 1 au coefficient, puis en convertissant en pourcentage.
Exercice 5 — Correction
« Consommer 5,5100 km » signifie que le volume consommé est proportionnel à la distance, de coefficient 5,5100 = 0,055 litre par kilomètre.
1. Pour 300 km :
5,5 × 300100 = 16,5
La voiture consomme 16,5 L.
2. Coût du trajet :
16,5 × 1,72 = 28,38 = 28,38
Le trajet coûte environ 28,38 €.
3.
Oui : on multiplie toujours la distance par le même nombre (0,055 L/km) pour obtenir le volume consommé. C'est donc bien une situation de proportionnalité.
Nuance à connaître : ce modèle est une moyenne. En pratique la consommation réelle dépend de la vitesse et du relief : la proportionnalité est un modèle simplifié, pas une loi exacte.
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