Activité 115 - Le programme de calcul

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Consultez la page du catalogue pour retrouver la méthode complète — appliquer, conjecturer, démontrer avec la lettre n — et pourquoi un exemple ne prouve rien, alors qu'un seul contre-exemple suffit.

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Fiche n°

Le programme à exécuter, et la question de contrôle :

Le programme de calcul

Voici un programme de calcul :

Choisis un nombre.
Ajoute 15.
Multiplie par 5.
Retranche 11.
Ajoute le triple du nombre choisi.
Retranche 64.

Réponds aux trois questions, dans l'ordre : la première se fait de tête, la dernière demande une démonstration.

Applique ce programme au nombre 7, puis au nombre 10.
Compare chaque résultat au nombre choisi. Que remarques-tu ?
Démontre-le pour un nombre quelconque.

Fais tes calculs au brouillon, puis rédige.

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Corrigé :

Le programme de calcul — Correction

1. On applique le programme pas à pas :

Étape	avec 7	avec 10
Nombre choisi	7	10
Ajoute 15	22	25
Multiplie par 5	110	125
Retranche 11	99	114
Ajoute le triple du nombre choisi	120	144
Retranche 64	56	80

2. et 3. Un tableau de nombres ne démontre rien : il faut refaire le calcul avec une lettre.

On appelle n le nombre choisi et on refait le programme avec la lettre :

Nombre choisi : n

Ajoute 15 : n + 15

Multiplie par 5 : 5n + 75

Retranche 11 : 5n + 64

Ajoute le triple du nombre choisi : 8n + 64

Retranche 64 : 8n

Le résultat est toujours le nombre choisi multiplié par 8.

L'expression finale est 8n : le résultat est bien 8 fois le nombre de départ, pour n'importe quelle valeur de n.

La règle du jeu. Un exemple peut infirmer une affirmation — il suffit d'un contre-exemple. Il ne peut jamais la confirmer : pour cela il faut un calcul qui vaut pour tous les nombres à la fois, et c'est précisément à quoi sert la lettre n.

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Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

Version 1.0.0 : 17/08/2026
- Création de la série : 400 programmes de calcul, répartis en six familles (résultat constant, multiple du nombre choisi, forme an + b réversible, divisibilité, programmes équivalents, et les fiches piège).
- Chaque fiche suit la même progression : on applique, on conjecture, on démontre avec la lettre n.
- Une fiche sur six est un piège construit exactement : deux programmes qui donnent le même résultat sur les deux nombres testés — et sur ceux-là seulement.
- Le générateur calcule l'expression littérale au lieu de la deviner ; les 400 fiches ont été recontrôlées en rejouant chaque programme sur 40 valeurs, négatives comprises (74 806 vérifications, aucun écart).

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

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