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Un mathématicien est une machine à transformer du café en théorèmes

Alfréd Rényi (sur Mon tshirt!)

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Consultez la page du catalogue pour retrouver la méthode complète — appliquer, conjecturer, démontrer avec la lettre n — et pourquoi un exemple ne prouve rien, alors qu'un seul contre-exemple suffit.

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Fiche n°
samedi 30 mai 2026

Le programme à exécuter, et la question de contrôle :

Le programme de calcul

Voici un programme de calcul :
  1. Choisis un nombre.
  2. Retranche le double du nombre choisi.
  3. Ajoute 8.
  4. Ajoute le triple du nombre choisi.
  5. Ajoute 15.
  6. Retranche le double du nombre choisi.
Réponds aux trois questions, dans l'ordre : la première se fait de tête, la dernière demande une démonstration.
  1. Applique ce programme au nombre 3, puis au nombre 19.
  2. Que remarques-tu ? Essaie avec un troisième nombre de ton choix.
  3. Démontre que le résultat est toujours le même, quel que soit le nombre choisi.
Fais tes calculs au brouillon, puis rédige.

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Corrigé :

Le programme de calcul — Correction

1. On applique le programme pas à pas :
Étapeavec 3avec 19
Nombre choisi319
Retranche le double du nombre choisi−3−19
Ajoute 85−11
Ajoute le triple du nombre choisi1446
Ajoute 152961
Retranche le double du nombre choisi2323
2. et 3. Un tableau de nombres ne démontre rien : il faut refaire le calcul avec une lettre.
On appelle n le nombre choisi et on refait le programme avec la lettre :
Nombre choisi : n
Retranche le double du nombre choisi : −n
Ajoute 8 : −n + 8
Ajoute le triple du nombre choisi : 2n + 8
Ajoute 15 : 2n + 23
Retranche le double du nombre choisi : 23
Le résultat est toujours 23, quel que soit le nombre choisi.
L'expression finale est 23 : la lettre n a disparu. C'est exactement ce que veut dire « le résultat ne dépend pas du nombre choisi » — et aucun essai numérique, si nombreux soit-il, ne pouvait l'établir.
La règle du jeu. Un exemple peut infirmer une affirmation — il suffit d'un contre-exemple. Il ne peut jamais la confirmer : pour cela il faut un calcul qui vaut pour tous les nombres à la fois, et c'est précisément à quoi sert la lettre n.

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