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D'après une étude américaine, 20% des habitants de notre planète parle anglais. Oui, les 80% restant n'ont pas compris la question.
Jean Yanne
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Dans cette leçon, nous allons apprendre à écrire plus court : au lieu de 5 × 5, nous écrirons 52.
Le carré d’un nombre a est le produit de ce nombre par lui-même. On le note a2 : a2 = a × a Le petit 2 s’appelle l’exposant. On lit « a au carré », ou « a exposant 2 ».
52 = 5 × 5 = 25
1,22 = 1,2 × 1,2 = 1,44
52 ne veut pas dire 5 × 2 ! L’exposant 2 indique combien de fois le nombre 5 est multiplié par lui-même, il ne se multiplie pas.
Parce que l’aire d’un carré de côté a vaut justement a × a, c’est-à-dire a2.
Un carré de côté 5 cm a donc pour aire 52 = 25 cm².
Ces carrés sont à connaître par cœur : ils servent partout (aires, Pythagore en 4e, calcul mental…).
| a | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 |
En lisant le tableau à l’envers :
49 = 72 81 = 92 144 = 122
Le cube d’un nombre a est le produit de ce nombre par lui-même trois fois. On le note a3 : a3 = a × a × a On lit « a au cube », ou « a exposant 3 ».
23 = 2 × 2 × 2 = 8
53 = 5 × 5 × 5 = 125
Parce que le volume d’un cube d’arête a vaut a × a × a, c’est-à-dire a3.
Un cube d’arête 2 cm a donc pour volume 23 = 8 cm³.
102 = 100 et 103 = 1 000 L’exposant indique le nombre de zéros : 103 s’écrit avec un 1 suivi de trois zéros.
Un cube d’arête 10 cm a pour volume 103 = 1 000 cm³, soit exactement 1 litre.
8 = 23 27 = 33 1 000 = 103
Un même nombre peut s’écrire de plusieurs façons : 64 = 82, et aussi 64 = 43 (car 4 × 4 × 4 = 64).
Dans un calcul, on effectue les puissances en premier, avant les multiplications, puis les additions et les soustractions (les parenthèses restant toujours prioritaires).
3 + 2 × 52 = 3 + 2 × 25 = 3 + 50 = 53
4 × 32 = 4 × 9 = 36
Attention au piège : (3 + 2)2 = 52 = 25, alors que 32 + 22 = 9 + 4 = 13. Les parenthèses changent tout !
Pour calculer la valeur d’une expression littérale, on remplace la lettre par sa valeur, puis on calcule en respectant les priorités.
Exemple. Calculer a2 + 3a pour a = 4.
\[\begin{aligned} a^{2} + 3a &= 4^{2} + 3 × 4 \\ &= 16 + 12 \\ &= 28 \end{aligned}\]
Calculer A = 2 × 62, B = (2 × 6)2 et C = b3 − 5b pour b = 3.
\[\begin{aligned} A &= 2 × 6^{2} = 2 × 36 = 72 \\ B &= (2 × 6)^{2} = 12^{2} = 144 \\ C &= 3^{3} - 5 × 3 = 27 - 15 = 12 \end{aligned}\] A et B sont bien différents : dans A on élève 6 au carré, dans B on élève le produit 2 × 6 au carré.
🌀 Progression spiralée. Cette leçon mobilise déjà quelques écritures littérales — par exemple calculer a² + 3a pour a = 4. Ces notations sont formalisées juste après, dans la leçon Initiation aux écritures littérales, puis réinvesties en calcul littéral.
Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 18 février 2026, applicable en classe de cinquième à la rentrée 2026) — Nombres et calculs, rubrique Puissances.
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Référence au programme : Programme de mathématiques du cycle 4 — cycle des approfondissements (arrêté du 18 février 2026), applicable en classe de cinquième à la rentrée 2026. Domaine : Nombres et calculs.
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