site2wouf.fr : La tournée du jour

La plupart des calomnies qui courent sur mon compte sont plus douces que ce que je dirais sur moi si l'on m'interrogeait.

Jean Yanne

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour K, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ sentier des PrésⒶ Place de la FontaineⒿ Rond-point du Stade
① rue du Stade⑩ venelle du ChatⒷ Fontaine Notre-DameⓀ Place aux Herbes
② rue des Écoles⑪ rue du MoulinⒸ Carrefour des TilleulsⓁ Coin du Lavoir
③ rue du Four⑫ rue de l'ÉgliseⒹ Carrefour de la MairieLes bâtiments
④ quai aux Fleurs⑬ chemin de RondeⒺ Carrefour du Lavoira l'école
⑤ rue Neuve⑭ rue PasteurⒻ Place de l'Égliseb la mairie
⑥ allée des Peupliers⑮ passage du MarchéⒼ Rond-point de la Garec la gendarmerie
⑦ rue des Lilas⑯ rue HauteⒽ Carrefour de l'Hôpitald la pharmacie
⑧ chemin du LavoirLes carrefoursⒾ Rond-point des Vaches
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresB, C, F, G, J, K6
clairsA, D, E, H, I, L6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend le chemin du Lavoir ⑧ vers le nord jusqu'à Carrefour du Lavoir (E).
Il continue tout droit dans la rue Neuve ⑤, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
Il continue tout droit dans la rue des Écoles ②, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (A).
Il tourne à droite dans la rue du Stade ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
Il tourne à droite dans la rue du Four ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
Il continue tout droit dans l'allée des Peupliers ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (G).
Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑩, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (H).
Il continue tout droit dans la rue de l'Église ⑫, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (F).
Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑨, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (L).
Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (J).
Il continue tout droit dans la rue Pasteur ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (I).
Il continue tout droit dans la rue Haute ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (K).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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