site2wouf.fr : La tournée du jour

Internet sera à l'économie du 21è siècle ce que l'essence fut au 20è siècle. La puissance des ordinateurs c'est l'essence d'internet.

Craig Barret

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour J, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ sentier des PrésⒷ Fontaine Notre-DameⓀ Place des Tanneurs
① chemin du Lavoir⑩ allée des TilleulsⒸ Place Sainte-CroixⓁ Placette des Ormes
② rue Pasteur⑪ allée des PeupliersⒹ Place de la FontaineLes bâtiments
③ rue Neuve⑫ venelle du ChatⒺ Carrefour des Tilleulsa l'école
④ rue Verte⑬ rue du MoulinⒻ Place du Vieux-Puitsb la pharmacie
⑤ rue des Écoles⑭ rue des JardinsⒼ Place du Marchéc la bibliothèque
⑥ rue du Puits⑮ rue de la PosteⒽ Carrefour du Lavoird la gendarmerie
⑦ rue HauteLes carrefoursⒾ Rond-point des Vaches
⑧ chemin CreuxⒶ Place de l'ÉgliseⒿ Rond-point de la Poste
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresB, D, F, G, I, K, L7
clairsA, C, E, H, J5
Il y a 7 carrefours sombres et 5 clairs. Il y en a donc 2 de plus du côté des sombres.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Non. Un circuit revient à son point de départ : il compte autant d'arrêts sombres que de clairs. Or ce quartier a 7 carrefours sombres et 5 clairs — c'est impossible.
4.
Non plus. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : elle ne peut absorber qu'un carrefour sombre en trop. Il y en a 2.

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