site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

Le car de ramassage

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJKLN
Le car part de l'école, au carrefour C, et doit s'arrêter à chaque carrefour exactement une fois. Il emprunte les rues qu'il veut et n'a pas à toutes les parcourir.
Les rues⑨ rue NeuveⒷ Fontaine Notre-DameⓀ Carrefour du Moulin
① rue de la Mairie⑩ rue du FourⒸ Carrefour Saint-RochⓁ Place de l'Église
② rue des Écoles⑪ avenue de la GareⒹ Place aux HerbesLes bâtiments
③ rue des Lilas⑫ chemin du LavoirⒺ Carrefour de la Mairiea l'école
④ quai aux Fleurs⑬ rue HauteⒻ Carrefour du Lavoirb la gendarmerie
⑤ allée des Tilleuls⑭ rue de la PosteⒼ Place de la Fontainec l'église
⑥ rue du Stade⑮ sentier des PrésⒽ Carrefour de l'Hôpitald la bibliothèque
⑦ rue VerteLes carrefoursⒾ Coin du Lavoir
⑧ venelle du ChatⒶ Placette des OrmesⒿ Rond-point de la Poste
Légende du plan
  1. Colorier les carrefours du plan avec deux couleurs, de sorte que deux carrefours reliés par une rue ne soient jamais de la même couleur. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
  2. Le car roule d'un carrefour au suivant. Que peut-on dire de la couleur des arrêts successifs ? Qu'en déduire sur les couleurs des arrêts d'une tournée qui les dessert tous ?
  3. Le car peut-il desservir tous les carrefours, une fois chacun, et revenir à l'école ? Si oui, décrire un trajet ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Et s'il n'est pas obligé de revenir à l'école ? Même consigne.

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Corrigé :

Le car de ramassage — Correction

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Deux carrefours reliés par une rue n'ont jamais la même couleur.
1. Le coloriage est forcé : une fois la couleur d'un carrefour choisie, celle de tous les autres suit, de proche en proche.
CouleurCarrefoursNombre
sombresA, C, D, G, H, J6
clairsB, E, F, I, K, L6
Il y a 6 carrefours sombres et 6 clairs. Il y en a autant de chaque côté.
2.
Le raisonnement clé. Chaque rue relie un carrefour sombre à un carrefour clair. Donc à chaque fois que le car roule, il change de couleur : ses arrêts sont sombre, clair, sombre, clair… en alternance.
Une tournée qui dessert les 12 carrefours alterne donc les deux couleurs d'un bout à l'autre : elle en utilise autant de chaque, à un près. Et si elle en utilise un de plus d'une couleur, c'est forcément celle de son départ et de son arrivée.
3.
Oui. Un circuit existe :
Le trajet du car
Le car sort de l'école et prend le quai aux Fleurs ④ vers l'est jusqu'à Carrefour de la Mairie (E).
Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ②, vers le nord, jusqu'à Placette des Ormes (A).
Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (B).
Il tourne à droite dans la rue des Lilas ③, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (G).
Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ⑪, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (L).
Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (H).
Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (K).
Il continue tout droit dans la rue de la Poste ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (J).
Il continue tout droit dans la rue Haute ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (I).
Il tourne à droite dans la rue Verte ⑦, vers le nord, jusqu'à Place aux Herbes (D).
Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
Il continue tout droit dans la rue Neuve ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
Le car est passé une fois par chaque carrefour et se retrouve à l'école.
4.
Oui, et c'est déjà fait : le trajet ci-dessus dessert tous les carrefours. Il suffit au car de s'arrêter avant le dernier trajet de retour.

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