Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 15 − 2 × 5 = 15 − 10 = 5
B = (15 − 2) × 5 = 13 × 5 = 65
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 54 = 432 ≤ 438 < 440 = 8 × 55 : le quotient est 54, le reste 438 − 432 = 6.
438 = 8 × 54 + 6, avec 6 < 8.
26 × 27 = 702 ≤ 712 < 728 = 26 × 28 : le quotient est 27, le reste 712 − 702 = 10.
712 = 26 × 27 + 10, avec 10 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 391 = 11 × 34 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 391 = 11 × 35 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 391 = 11 × 36 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 35, reste 6.
Comme 6 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 391 par 35 : quotient 11, reste 6.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 769 | non | oui | non | oui | non |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 8 290 | oui | non | oui | non | oui |
| 875 | non | non | oui | non | non |
| 2 314 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 769 → 5 + 7 + 6 + 9 = 27 717 → 7 + 1 + 7 = 15 8 290 → 8 + 2 + 9 + 0 = 19
875 → 8 + 7 + 5 = 20 2 314 → 2 + 3 + 1 + 4 = 10
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 9 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 459.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 133 est un multiple de 7. » Vrai. 133 = 7 × 19 : le reste de la division de 133 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 90 − 4 × 3 = 90 − 12 = 78
B = 3 × 9 − 6 × 4 = 27 − 24 = 3
C = (5 + 2) × 4 − 5 = 7 × 4 − 5 = 28 − 5 = 23
D = [5 + 7 × (12 − 2)] ÷ 5 = [5 + 7 × 10] ÷ 5 = [5 + 70] ÷ 5 = 75 ÷ 5 = 15
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + 2 × (2 + 5) = 3 + 2 × 7 = 3 + 14 = 17
5 × (2 + 2) − 8 = 5 × 4 − 8 = 20 − 8 = 12
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 22 × 39 − 22 × 29 = 22 × (39 − 29) = 22 × 10 = 220
F = 39 × 99 = 39 × (100 − 1) = 39 × 100 − 39 × 1 = 3 900 − 39 = 3 861
G = 79 + 5,05 + 21 = 79 + 21 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 6 × 6 = 6²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 3 × 4² = 12² » Faux. 3 × 4² = 3 × 16 = 48, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 4.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 54 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 54 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 5 = 4 × 25 − 5 = 100 − 5 = 95
B = (4 × 5)² − 5 = 20² − 5 = 400 − 5 = 395
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 4 = 1² + 4 = 1 + 4 = 5 et 5x = 5 × 1 = 5.
5 = 5 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 8 : x² + 4 = 8² + 4 = 64 + 4 = 68 et 5x = 5 × 8 = 40.
68 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour x = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 4, et seulement pour 1 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 2² = π × 4 = 4π
a) L'aire exacte est 4π m².
4 × 3,14 = 12,56
b) L'aire vaut environ 13 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 2², et non (π × 2)². On élève 2 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 120 et 173. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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