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Mieux vaut être dévoré par les remords dans la forêt de Forbach qu'être dévoré par les morbacs dans la forêt de Francfort
Pierre Desproges (sur mon T shirt!)
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, puissances, vous propose quatre leçons, une page de questions flash, une page d'exercices (400 fiches), cinq devoirs (3 DS, 2 DM) en 5ème et 3ème, une fiche de révision et 119 épreuves d'annales.
Une puissance abrège la multiplication répétée d'un nombre par lui-même : 2⁵ signifie 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Étudiées en 4ème puis en 3ème avec les exposants négatifs, elles obéissent à quelques règles simples — à condition de retenir celle qui les gouverne toutes : la base doit être la même.
📂 Thème parent : calcul numérique (177)
🔖 Thèmes enfants : notation-scientifique (21)
📘 5ème — 1 devoir
Ce devoir surveillé évalue plusieurs compétences fondamentales. En géométrie, les élèves construisent et analysent les propriétés d'un triangle isocèle, ainsi que calculent des aires de figures simples. En grandeurs et mesures, ils travaillent sur la proportionnalité. En algèbre, les notions de double, triple, carré, et cube d'un nombre sont mobilisées.
📕 3ème — 4 devoirs
Ce devoir mobilise surtout les compétences sur les fractions (cycle 3 et 4), les puissances, le calcul littéral (développement et factorisation), et l'espace.
Ce devoir mobilise plusieurs compétences essentielles de niveau 3ème, telles que l'application du théorème de Pythagore et des relations trigonométriques dans des situations concrètes, la résolution de problèmes géométriques impliquant des triangles rectangles, ainsi que l'utilisation de l'écriture scientifique et des puissances.
Ce devoir mobilise les compétences de calcul du PGCD et de simplification de fractions, d'utilisation de notation scientifique, la reproduction et l'analyse de figures géométriques, le calcul de probabilités, ainsi que l'utilisation d'indicateurs statistiques tels que la moyenne, la médiane et l'étendue.
Ce devoir vise à renforcer les compétences en notation scientifique, en géométrie appliquée et en calcul de proportionnalité. Les élèves devront exprimer des nombres en notation scientifique et calculer une distance astronomique, justifier une méthode ancienne de construction géométrique, et comparer les prix au kilo d'un lot de sardines.
Fiche de révision thématique sur les puissances et la notation scientifique en 3ème, style prépa brevet. Couvre les puissances entières positives et négatives, les règles de calcul, la notation scientifique et les conversions. Exercices avec correction complète.
Le thème puissances apparaît dans 119 des 208 sujets de brevet du site (57 %), de 2008 à 2026 — plus d'une session sur deux. Les six sujets les plus récents :
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Polynésie du 26 juin 2026, adapté au template site2wouf (LaTeX PSTricks + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (médiane, notation scientifique, aire d'un triangle, probabilité, pourcentage, développement, conversion de volumes). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — périmètres d'un rectangle et d'un triangle isocèle, tableur, programme de calcul et résolution d'une équation. Exercice 2 — figure géométrique (Thalès, Pythagore, trigonométrie). Exercice 3 — Jeux Olympiques 2024 : coordonnées géographiques de Tahiti sur une mappemonde, durée de vol et masse d'argent d'une médaille (cylindre).
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Métropole du 30 juin 2026, adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (écriture fractionnaire, somme de relatifs, tableau de proportionnalité, probabilité, équation, écriture scientifique, diagramme circulaire, périmètre, cosinus). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — statistiques et proportionnalité sur le tableau des médailles des Jeux paralympiques de Paris 2024 (médiane, pourcentage d'augmentation). Exercice 2 — réciproque de Pythagore, théorème de Thalès, triangles semblables et aire d'un quadrilatère. Exercice 3 — fonction donnant le volume d'une boule : lecture graphique, formule V = 4/3 × π × R³, impression 3D et masse volumique. Exercice 4 — sachets de bonbons : PGCD et décomposition en facteurs premiers.
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Centres étrangers du 18 juin 2026, adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ/pgfplots). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (médiane de températures, translation de motifs, probabilité, cosinus, notation scientifique, vitesse moyenne, factorisation, pourcentage, lecture graphique d'une courbe de marée). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — théorème de Thalès sur deux triangles rectangles emboîtés, longueurs et périmètres. Exercice 2 — volume d'un bonbon en forme de gélule (cylindre + deux demi-boules) et comparaison de prix de sachets. Exercice 3 — deux programmes de calcul, programmation Scratch et résolution d'une équation par identité remarquable. Corrigé détaillé inclus.
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Asie du 15 juin 2026, adapté au template site2wouf (LaTeX PSTricks + TikZ). Nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, sans calculatrice) : 9 questions courtes (écriture scientifique, identité remarquable, volume d'un pavé droit, divisibilité par 9, vitesse moyenne, probabilité, pourcentage, angle dans un triangle rectangle, médiane sur un diagramme en barres). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — comparaison de deux offres pour l'achat d'un smartphone. Exercice 2 — théorème de Thalès et volume d'un gobelet en forme de tronc de cône. Exercice 3 — programmes de calcul et fonctions. Exercice 4 — carré et triangle équilatéral, programmation Scratch de frises. Corrigé détaillé inclus.
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Amérique du Nord de juin 2026 (code 26GENMATAN1). Premier sujet du nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, 20 min, sans calculatrice) : 8 questions courtes (calcul fractionnaire, pourcentage, nature d'un quadrilatère, équation, lecture de coordonnées, médiane, trigonométrie, diviseur d'un entier). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, 1 h 40, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — réciproque de Pythagore, aire, Thalès (parallélisme) et trigonométrie. Exercice 2 — fonctions f(x)=(x−1)(x+3) et g(x)=2x+1 : image, antécédent, tableur, graphique, équation f(x)=g(x). Exercice 3 — intelligence artificielle : statistiques et probabilités (base d'images), puis puissances et écriture scientifique (consommation électrique en Wh). Exercice 4 — programmation Scratch : carrés et triangles équilatéraux, coordonnées du lutin. Adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ/pgfplots). Corrigé détaillé inclus.
Sujet officiel du brevet voie professionnelle, session Nouvelle-Calédonie du 11 décembre 2025, adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ). Exercice 1 : QCM — 4³, écriture scientifique de 650 000, expression 5a−3b (a=6,b=2), réduction 20 % de 520 F, angle complémentaire de 36°. Exercice 2 : achat de 6 ruches (David) — devis (kits, planchers, cadres filés, cartons cire), nombre de cartons, facture complète, remise 5 %, net à payer. Exercice 3 : ruche pavé droit (46×37×24 cm) — forme face latérale, aire totale des faces en bois, nombre de pots de peinture pour 4 couches sur 6 ruches. Exercice 4 : rectangle ABDE + triangle isocèle BCD (AE=37 cm, BC=23,2 cm, DE=100 mm) — Pythagore (CF), cocher formule cosinus, angle CDF ≈ 37°. Exercice 5 : miel (5 ruches) — proportionnalité masse/volume, f(x)=1,4x, tableur formule B2, masse moyenne, impact 6e ruche (moyenne→21 kg). Exercice 6 : montants commandes groupés — compléter effectifs/fréquences, histogramme. Exercice 7 : logo alvéole hexagonale — identifier le programme Scratch parmi 3 propositions.
Une puissance abrège une multiplication répétée : 2⁵ signifie 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Le nombre du bas est la base, celui du haut l'exposant, et l'exposant compte les facteurs, pas les multiplications — il y a cinq 2 dans 2⁵, et quatre signes ×.
am × an = am+n · am ÷ an = am−n · (am)n = am×n
(a × b)n = an × bn
Les deux premières règles n'ont de sens que si la base est la même. C'est la condition qu'on oublie, et elle explique pourquoi 2³ × 3² ne se simplifie pas : additionner des exposants revient à compter des facteurs, et on ne peut compter ensemble que des facteurs identiques. Les deux dernières règles, elles, portent sur des bases différentes mais concernent des produits, jamais des sommes.
Un repère pour ne pas confondre les deux premières avec la troisième : quand on multiplie deux puissances, on additionne ; quand on élève une puissance à une puissance, on multiplie. La seconde opération est plus forte que la première, l'opération sur les exposants l'est aussi.
Ces deux définitions passent souvent pour des conventions arbitraires. Elles ne le sont pas : elles sont forcées si l'on veut que la règle de la division continue de fonctionner.
Divisons a⁵ par a⁵. D'un côté, c'est un nombre divisé par lui-même : le résultat vaut 1. De l'autre, la règle donne a5−5, c'est-à-dire a⁰. Pour que les deux réponses coïncident, il faut que a⁰ vaille 1.
Même raisonnement un cran plus loin : a⁰ ÷ a³ vaut a−3 par la règle, et 1 ÷ a³ par le calcul direct. D'où a−3 = 1 ÷ a³.
Un exposant négatif ne signifie donc pas « résultat négatif » mais « inverse » : 2−3 vaut un huitième, un nombre positif. Ces deux cas exigent une base non nulle — on ne divise pas par zéro, et 0⁰ n'est pas défini.
Ce sont celles qu'on rencontre le plus, et les plus faciles à lire : 10n s'écrit 1 suivi de n zéros, et 10−n est un 1 placé n rangs après la virgule. Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite, diviser la décale vers la gauche. C'est de là que vient la notation scientifique, qui en fait un usage systématique pour écrire les très grands et les très petits nombres.
Au brevet, les puissances arrivent presque toujours par les puissances de 10 : conversions d'unités, distances astronomiques, tailles de cellules, capacités de stockage. Le calcul pur — simplifier une expression avec des exposants — appartient surtout à la partie automatismes. Le vrai piège se situe ailleurs : dans le passage entre l'écriture décimale, l'écriture avec puissance de 10 et la notation scientifique, qui doivent désigner le même nombre à la fin.
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