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C'est de ta peur que j'ai peur.
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, puissances, vous propose cinq leçons, une page de questions flash, deux pages d'exercices (800 fiches), onze devoirs (4 DS, 7 DM) en 5ème et 3ème, une fiche de révision et dix épreuves d'annales.
Une puissance abrège la multiplication répétée d'un nombre par lui-même : 2⁵ signifie 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Étudiées en 4ème puis en 3ème avec les exposants négatifs, elles obéissent à quelques règles simples — à condition de retenir celle qui les gouverne toutes : la base doit être la même.
📂 Thème parent : calcul numérique (89)
🔖 Thèmes enfants : notation-scientifique (16)
📘 5ème — 4 devoirs
Quatre équipes, six matchs et un classement à trous : il faut reconstituer victoires, nuls, défaites et points à partir de quelques indices, puis contrôler le tableau en comptant les matchs de deux façons. La deuxième partie prépare le chapitre sur les nombres relatifs : températures à ranger et à placer sur une droite graduée, comparaisons, profondeur d'un plongeur, opposés. La troisième révise la fraction d'une quantité, le périmètre et l'aire d'un rectangle, puis les priorités opératoires avec des carrés et des cubes.
Devoir surveillé sans calculatrice, à rédiger sur la copie. Une énigme d'âges, à traiter par essais organisés ou par le calcul, précède l'évaluation du cours du moment : priorités opératoires, carrés et cubes, valeur d'une expression littérale et premières équations. La dernière partie révise le programme de sixième : décimaux, proportionnalité, périmètre et aire.
Une pyramide additive à trous ouvre le devoir : une seule case manquante à retrouver, par essais ou par le calcul, ce qui amène naturellement l'idée d'inconnue. La deuxième partie prépare le chapitre des puissances : table des carrés, écriture d'un nombre sous forme de carré ou de cube, valeur d'une expression littérale. La troisième est un programme de construction de sixième, avec milieu, perpendiculaire et symétrie axiale.
Ce devoir surveillé évalue plusieurs compétences fondamentales. En géométrie, les élèves construisent et analysent les propriétés d'un triangle isocèle, ainsi que calculent des aires de figures simples. En grandeurs et mesures, ils travaillent sur la proportionnalité. En algèbre, les notions de double, triple, carré, et cube d'un nombre sont mobilisées.
📕 3ème — 7 devoirs
Le devoir part de la légende de Sissa, l'inventeur des échecs, qui réclame un grain de blé sur la première case de l'échiquier puis deux fois plus sur chaque case suivante : puissances de 2, conjecture sur la somme 2ⁿ − 1, notation scientifique, puis comparaison avec la production mondiale de blé. Le deuxième exercice porte sur les probabilités : deux tirages avec remise dans une urne, l'arbre des probabilités, et l'événement contraire pour « au moins une boule bleue ». Le troisième est un problème du certificat d'études de 1880 (Alpes-Maritimes) : retrouver un capital placé trois ans à 6 % à intérêts composés, en découvrant le coefficient multiplicateur et sa puissance.
Un problème ouvert pour commencer : un cinéma propose trois formules (une carte puis un tarif réduit, le plein tarif sans carte, un abonnement illimité) et il faut dire laquelle conseiller selon le nombre de films vus dans l'année. Deux questions guidées (le prix pour 10 et pour 30 films, puis l'expression en fonction de x) amorcent la recherche ; la méthode reste libre, mais la conclusion doit être complète. La deuxième partie prépare le chapitre de statistiques et de probabilités à partir des notes d'une classe : effectif total, étendue, moyenne, médiane, pourcentage d'élèves sous la moyenne et probabilité d'un événement, puis comparaison avec une seconde classe pour distinguer niveau et homogénéité. La troisième révise le théorème de Pythagore et sa réciproque, la résolution d'équation, le développement et la factorisation, les puissances et la notation scientifique.
Le devoir s'ouvre sur un cryptarithme célèbre, SEND + MORE = MONEY : chaque lettre cache un chiffre, et c'est en raisonnant sur les retenues, colonne par colonne, que l'on trouve l'unique solution. La deuxième partie prépare le chapitre sur les puissances (produits et quotients de puissances de 10, notation scientifique, distance de Proxima du Centaure en kilomètres), avec un rappel sur les priorités et les fractions. La troisième révise le calcul littéral (développer, factoriser) et les pourcentages, dont le piège classique d'une hausse suivie d'une baisse de même taux.
Ce devoir mobilise surtout les compétences sur les fractions (cycle 3 et 4), les puissances, le calcul littéral (développement et factorisation), et l'espace.
Ce devoir mobilise plusieurs compétences essentielles de niveau 3ème, telles que l'application du théorème de Pythagore et des relations trigonométriques dans des situations concrètes, la résolution de problèmes géométriques impliquant des triangles rectangles, ainsi que l'utilisation de l'écriture scientifique et des puissances.
Ce devoir mobilise les compétences de calcul du PGCD et de simplification de fractions, d'utilisation de notation scientifique, la reproduction et l'analyse de figures géométriques, le calcul de probabilités, ainsi que l'utilisation d'indicateurs statistiques tels que la moyenne, la médiane et l'étendue.
Ce devoir vise à renforcer les compétences en notation scientifique, en géométrie appliquée et en calcul de proportionnalité. Les élèves devront exprimer des nombres en notation scientifique et calculer une distance astronomique, justifier une méthode ancienne de construction géométrique, et comparer les prix au kilo d'un lot de sardines.
Fiche de révision thématique sur les puissances et la notation scientifique en 3ème, style prépa brevet. Couvre les puissances entières positives et négatives, les règles de calcul, la notation scientifique et les conversions. Exercices avec correction complète.
Le thème puissances apparaît dans 10 des 207 sujets de brevet du site (5 %), de 2008 à 2026. Les six sujets les plus récents :
Sujet officiel du brevet des collèges (Ministère de l'Éducation nationale), série générale, session Amérique du Nord de juin 2026 (code 26GENMATAN1). Premier sujet du nouveau format DNB 2026 : Partie 1 – Automatismes (6 points, 20 min, sans calculatrice) : 8 questions courtes (calcul fractionnaire, pourcentage, nature d'un quadrilatère, équation, lecture de coordonnées, médiane, trigonométrie, diviseur d'un entier). Partie 2 – Raisonnement et résolution de problèmes (14 points, 1 h 40, calculatrice autorisée) : Exercice 1 — réciproque de Pythagore, aire, Thalès (parallélisme) et trigonométrie. Exercice 2 — fonctions f(x)=(x−1)(x+3) et g(x)=2x+1 : image, antécédent, tableur, graphique, équation f(x)=g(x). Exercice 3 — intelligence artificielle : statistiques et probabilités (base d'images), puis puissances et écriture scientifique (consommation électrique en Wh). Exercice 4 — programmation Scratch : carrés et triangles équilatéraux, coordonnées du lutin. Adapté au template site2wouf (pdflatex + TikZ/pgfplots). Corrigé détaillé inclus.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Métropole de septembre 2019.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Asie de juin 2014.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Métropole de juin 2012.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Centres étrangers de juin 2011.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Liban de juin 2009.
Une puissance abrège une multiplication répétée : 2⁵ signifie 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Le nombre du bas est la base, celui du haut l'exposant, et l'exposant compte les facteurs, pas les multiplications — il y a cinq 2 dans 2⁵, et quatre signes ×.
am × an = am+n · am ÷ an = am−n · (am)n = am×n
(a × b)n = an × bn
Les deux premières règles n'ont de sens que si la base est la même. C'est la condition qu'on oublie, et elle explique pourquoi 2³ × 3² ne se simplifie pas : additionner des exposants revient à compter des facteurs, et on ne peut compter ensemble que des facteurs identiques. Les deux dernières règles, elles, portent sur des bases différentes mais concernent des produits, jamais des sommes.
Un repère pour ne pas confondre les deux premières avec la troisième : quand on multiplie deux puissances, on additionne ; quand on élève une puissance à une puissance, on multiplie. La seconde opération est plus forte que la première, l'opération sur les exposants l'est aussi.
Ces deux définitions passent souvent pour des conventions arbitraires. Elles ne le sont pas : elles sont forcées si l'on veut que la règle de la division continue de fonctionner.
Divisons a⁵ par a⁵. D'un côté, c'est un nombre divisé par lui-même : le résultat vaut 1. De l'autre, la règle donne a5−5, c'est-à-dire a⁰. Pour que les deux réponses coïncident, il faut que a⁰ vaille 1.
Même raisonnement un cran plus loin : a⁰ ÷ a³ vaut a−3 par la règle, et 1 ÷ a³ par le calcul direct. D'où a−3 = 1 ÷ a³.
Un exposant négatif ne signifie donc pas « résultat négatif » mais « inverse » : 2−3 vaut un huitième, un nombre positif. Ces deux cas exigent une base non nulle — on ne divise pas par zéro, et 0⁰ n'est pas défini.
Ce sont celles qu'on rencontre le plus, et les plus faciles à lire : 10n s'écrit 1 suivi de n zéros, et 10−n est un 1 placé n rangs après la virgule. Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite, diviser la décale vers la gauche. C'est de là que vient la notation scientifique, qui en fait un usage systématique pour écrire les très grands et les très petits nombres.
Au brevet, les puissances arrivent presque toujours par les puissances de 10 : conversions d'unités, distances astronomiques, tailles de cellules, capacités de stockage. Le calcul pur — simplifier une expression avec des exposants — appartient surtout à la partie automatismes. Le vrai piège se situe ailleurs : dans le passage entre l'écriture décimale, l'écriture avec puissance de 10 et la notation scientifique, qui doivent désigner le même nombre à la fin.
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