Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 1)² = 6² = 36
B = 5² + 1² = 25 + 1 = 26
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 44 − 7 × 5 est une différence : c'est la différence entre 44 et le produit de 7 par 5.
D = (6 + 9) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 6 et 9 par 5.
E = 8 + 16 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 8 et du quotient de 16 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 140 = 840 ≤ 843 < 846 = 6 × 141 : le quotient est 140, le reste 843 − 840 = 3.
843 = 6 × 140 + 3, avec 3 < 6.
11 × 223 = 2 453 ≤ 2 461 < 2 464 = 11 × 224 : le quotient est 223, le reste 2 461 − 2 453 = 8.
2 461 = 11 × 223 + 8, avec 8 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 332 = 9 × 35 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 332 = 9 × 36 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 332 = 9 × 37 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 36, reste 8.
Comme 8 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 332 par 36 : quotient 9, reste 8.
3. 376 = 7 × 53 + 5
a) 376 jours font 53 semaines complètes et 5 jours.
Après 53 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 5 jours : mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 376 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 415 | non | non | oui | non | non |
| 4 977 | non | oui | non | oui | non |
| 9 330 | oui | oui | oui | non | oui |
| 7 448 | oui | non | non | non | non |
| 861 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
415 → 4 + 1 + 5 = 10 4 977 → 4 + 9 + 7 + 7 = 27 9 330 → 9 + 3 + 3 + 0 = 15
7 448 → 7 + 4 + 4 + 8 = 23 861 → 8 + 6 + 1 = 15
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 8 = 12 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 3 : 15 ; □ = 6 : 18 ; □ = 9 : 21
4 solutions : 408, 438, 468, 498.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 68 est pair mais 68 = 3 × 22 + 2.
« 5 est un diviseur de 141. » Faux. 141 = 5 × 28 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 72 − 3 × 5 = 72 − 15 = 57
B = 5 × 8 − 5 × 4 = 40 − 20 = 20
C = 72 − 2 × (18 − 7) = 72 − 2 × 11 = 72 − 22 = 50
D = 1,4 + 3 × 1,2 = 1,4 + 3,6 = 5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + 6 × (5 + 6) = 2 + 6 × 11 = 2 + 66 = 68
8 × 7 − (8 + 2) = 8 × 7 − 10 = 56 − 10 = 46
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 + 3,45 + 80 = 20 + 80 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 3,6 × 0,7 + 3,6 × 0,3 = 3,6 × (0,7 + 0,3) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 23 × 99 = 23 × (100 − 1) = 23 × 100 − 23 × 1 = 2 300 − 23 = 2 277
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 = 3² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (5 + 4)² = 5² + 4² » Faux. (5 + 4)² = 9² = 81, alors que 5² + 4² = 25 + 16 = 41.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 85 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 85 < 100 = 10²)
109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 3 = 4 × 4 − 3 = 16 − 3 = 13
B = (4 × 2)² − 3 = 8² − 3 = 64 − 3 = 61
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 5x = 5 × 2 = 10.
10 = 10 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 6 : x² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 5x = 5 × 6 = 30.
42 ≠ 30 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 2 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 59 et 109. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 64, 81.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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