Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
B = (4 + 7)² = 11² = 121
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 × (16 − 7) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 16 et 7.
D = 20 − 2 × 6 est une différence : c'est la différence entre 20 et le produit de 2 par 6.
E = 5² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 67 = 536 ≤ 541 < 544 = 8 × 68 : le quotient est 67, le reste 541 − 536 = 5.
541 = 8 × 67 + 5, avec 5 < 8.
13 × 85 = 1 105 ≤ 1 106 < 1 118 = 13 × 86 : le quotient est 85, le reste 1 106 − 1 105 = 1.
1 106 = 13 × 85 + 1, avec 1 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 250 = 8 × 31 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 250 = 8 × 32 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 250 = 8 × 30 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 31, reste 2.
Comme 2 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 250 par 31 : quotient 8, reste 2.
3. 389 = 7 × 55 + 4
a) 389 jours font 55 semaines complètes et 4 jours.
Après 55 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 4 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche.
b) Dans 389 jours, nous serons dimanche.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 798 | oui | non | non | non | non |
| 7 749 | non | oui | non | oui | non |
| 475 | non | non | oui | non | non |
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 2 160 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
1 798 → 1 + 7 + 9 + 8 = 25 7 749 → 7 + 7 + 4 + 9 = 27 475 → 4 + 7 + 5 = 16
291 → 2 + 9 + 1 = 12 2 160 → 2 + 1 + 6 + 0 = 9
2. Somme des chiffres : 6 + □ + 2 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 612.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 24 est divisible par 3 (24 = 3 × 8) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 4 est un diviseur de 120. » Vrai. 120 = 4 × 30 : le reste de la division de 120 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 15 + 3 × 9 = 15 + 27 = 42
B = 12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8
C = 70 − 5 × (18 − 9) = 70 − 5 × 9 = 70 − 45 = 25
D = 7,1 + 2 × 0,2 = 7,1 + 0,4 = 7,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (5 + 7 + 9) = 5 × (12 + 9) = 5 × 21 = 105
5 + 7 × (3 + 8) = 5 + 7 × 11 = 5 + 77 = 82
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 15 × 9 = 15 × (10 − 1) = 15 × 10 − 15 × 1 = 150 − 15 = 135
F = 37 × 79 − 37 × 69 = 37 × (79 − 69) = 37 × 10 = 370
G = 8 × 20 × 125 = 8 × 125 × 20 = 1 000 × 20 = 20 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 11 × 11 = 11² 0,4 × 0,4 = 0,4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 43 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 43 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
115 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 115 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 5 = 5 × 36 − 5 = 180 − 5 = 175
B = (5 × 6)² − 5 = 30² − 5 = 900 − 5 = 895
C = 7² + 2² = 49 + 4 = 53
D = (7 + 2)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 5 : n² + 6 = 5² + 6 = 25 + 6 = 31 et 5n = 5 × 5 = 25.
31 ≠ 25 : l'égalité est fausse pour n = 5.
Pour n = 2 : n² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 5n = 5 × 2 = 10.
10 = 10 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 3, et seulement pour 2 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
5 × 2 = 10
a) Il faut 10 carreaux le long d'un côté.
10 rangées de 10 carreaux : 10² = 10 × 10 = 100
b) Il faut 100 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 43 et 112. » → encore 68 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49, 81.
« Mon chiffre des unités est 1. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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