Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 + 5 × 3 = 2 + 15 = 17
B = (2 + 5) × 3 = 7 × 3 = 21
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
D = 7 × (17 − 10) est un produit : c'est le produit de 7 par la différence entre 17 et 10.
E = (4 + 4) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 4 et 4 par 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 238 = 952 ≤ 954 < 956 = 4 × 239 : le quotient est 238, le reste 954 − 952 = 2.
954 = 4 × 238 + 2, avec 2 < 4.
24 × 14 = 336 ≤ 356 < 360 = 24 × 15 : le quotient est 14, le reste 356 − 336 = 20.
356 = 24 × 14 + 20, avec 20 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 160 = 6 × 26 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 160 = 6 × 27 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 160 = 6 × 25 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 26, reste 4.
Comme 4 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 160 par 26 : quotient 6, reste 4.
3. 193 = 7 × 27 + 4
a) 193 jours font 27 semaines complètes et 4 jours.
Après 27 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 4 jours : vendredi → samedi → dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 193 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 842 | oui | non | non | non | non |
| 8 560 | oui | non | oui | non | oui |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 7 047 | non | oui | non | oui | non |
| 235 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 842 → 8 + 8 + 4 + 2 = 22 8 560 → 8 + 5 + 6 + 0 = 19 147 → 1 + 4 + 7 = 12
7 047 → 7 + 0 + 4 + 7 = 18 235 → 2 + 3 + 5 = 10
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 2 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 822, 828.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 21 est divisible par 3 (21 = 3 × 7) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 44 est un multiple de 4. » Vrai. 44 = 4 × 11 : le reste de la division de 44 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 34 − 2 + 11 = 32 + 11 = 43
B = 8 × 3 − 4 × 2 = 24 − 8 = 16
C = (3 + 6) × 6 − 18 = 9 × 6 − 18 = 54 − 18 = 36
D = 3 × [37 − (8 + 6)] = 3 × [37 − 14] = 3 × 23 = 69
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 6) × 4 − 3 = 8 × 4 − 3 = 32 − 3 = 29
5 + 9 × (2 + 9) = 5 + 9 × 11 = 5 + 99 = 104
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 15 × 99 = 15 × (100 − 1) = 15 × 100 − 15 × 1 = 1 500 − 15 = 1 485
F = 58 + 7,8 + 42 = 58 + 42 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 45 × 77 − 45 × 67 = 45 × (77 − 67) = 45 × 10 = 450
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 11 × 11 = 11² 0,7 × 0,7 = 0,7²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 59 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 59 < 64 = 8²)
62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 8 = 2 × 25 − 8 = 50 − 8 = 42
B = (2 × 5)² − 8 = 10² − 8 = 100 − 8 = 92
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : 4n² = 4 × 2² = 4 × 4 = 16
Pour n = 0,5 : 4n² = 4 × 0,5² = 4 × 0,25 = 1
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 108 et 145. » → encore 36 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.