Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
B = (1 + 7)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = 9² − 21 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 21.
E = 7 + 24 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 7 et du quotient de 24 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 45 = 180 ≤ 182 < 184 = 4 × 46 : le quotient est 45, le reste 182 − 180 = 2.
182 = 4 × 45 + 2, avec 2 < 4.
20 × 21 = 420 ≤ 421 < 440 = 20 × 22 : le quotient est 21, le reste 421 − 420 = 1.
421 = 20 × 21 + 1, avec 1 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 229 = 6 × 37 + 7 : le « reste » 7 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(b) 229 = 6 × 38 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 6. ✔
(c) 229 = 6 × 39 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 38, reste 1.
Comme 1 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 229 par 38 : quotient 6, reste 1.
3. 52 = 7 × 7 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 7 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 565 | non | non | oui | non | non |
| 2 817 | non | oui | non | oui | non |
| 267 | non | oui | non | non | non |
| 1 610 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 222 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
565 → 5 + 6 + 5 = 16 2 817 → 2 + 8 + 1 + 7 = 18 267 → 2 + 6 + 7 = 15
1 610 → 1 + 6 + 1 + 0 = 8 4 222 → 4 + 2 + 2 + 2 = 10
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 4 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 504, 594.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 3, n'est pas dans la table de 9).
« 135 est un multiple de 5. » Vrai. 135 = 5 × 27 : le reste de la division de 135 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 83 − 3 × 8 = 83 − 24 = 59
B = 16 + 64 ÷ 8 × 4 = 16 + 8 × 4 = 16 + 32 = 48
C = (8 × 4 − 7) ÷ 2 = (32 − 7) ÷ 2 = 25 ÷ 2 = 12,5
D = 3 × [36 − (2 + 7)] = 3 × [36 − 9] = 3 × 27 = 81
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (2 × 4 + 4) = 7 × (8 + 4) = 7 × 12 = 84
7 × (9 + 3 × 4) = 7 × (9 + 12) = 7 × 21 = 147
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 24 × 9 = 24 × (10 − 1) = 24 × 10 − 24 × 1 = 240 − 24 = 216
F = 12,5 × 0,4 + 12,5 × 0,6 = 12,5 × (0,4 + 0,6) = 12,5 × 1 = 12,5
G = 70 + 5,05 + 30 = 70 + 30 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 6 × 6 = 6² 6 × 6 × 6 = 6³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 7² = 7 × 7 = 49 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (5 + 1)² = 5² + 1² » Faux. (5 + 1)² = 6² = 36, alors que 5² + 1² = 25 + 1 = 26.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 63 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 63 < 64 = 8²)
72 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 72 < 81 = 9²) 144 = 12² : carré
147 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 147 < 169 = 13²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 7 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
B = (2 × 2)² − 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9
C = 7² + 3² = 49 + 9 = 58
D = (7 + 3)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 6 : n² + 12 = 6² + 12 = 36 + 12 = 48 et 8n = 8 × 6 = 48.
48 = 48 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Pour n = 1 : n² + 12 = 1² + 12 = 1 + 12 = 13 et 8n = 8 × 1 = 8.
13 ≠ 8 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 2, et seulement pour 6 et 2.)
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 50 = 2 : il y a 2 carreaux par mètre.
2 × 2 = 4
a) Il faut 4 carreaux le long d'un côté.
4 rangées de 4 carreaux : 4² = 4 × 4 = 16
b) Il faut 16 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 189 et 230. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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