Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
B = (1 + 6)² = 7² = 49
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × (8 − 4) est un produit : c'est le produit de 2 par la différence entre 8 et 4.
D = 20 − 2 × 3 est une différence : c'est la différence entre 20 et le produit de 2 par 3.
E = 10 + 27 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 10 et du quotient de 27 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 25 = 125 ≤ 128 < 130 = 5 × 26 : le quotient est 25, le reste 128 − 125 = 3.
128 = 5 × 25 + 3, avec 3 < 5.
18 × 30 = 540 ≤ 545 < 558 = 18 × 31 : le quotient est 30, le reste 545 − 540 = 5.
545 = 18 × 30 + 5, avec 5 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 203 = 6 × 33 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 203 = 6 × 34 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 203 = 6 × 32 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 33, reste 5.
Comme 5 < 33 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 203 par 33 : quotient 6, reste 5.
3. 243 = 18 × 13 + 9
En 13 soirs, elle lit 234 pages ; il lui en reste encore 9.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 9 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 810 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 008 | oui | non | non | non | non |
| 717 | non | oui | non | non | non |
| 5 787 | non | oui | non | oui | non |
| 385 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
7 810 → 7 + 8 + 1 + 0 = 16 3 008 → 3 + 0 + 0 + 8 = 11 717 → 7 + 1 + 7 = 15
5 787 → 5 + 7 + 8 + 7 = 27 385 → 3 + 8 + 5 = 16
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 2 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 702, 792.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 42 est divisible par 3 (42 = 3 × 14) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 100 est un multiple de 5. » Vrai. 100 = 5 × 20 : le reste de la division de 100 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 21 − 11 + 4 = 10 + 4 = 14
B = 8 × 7 − 4 × 4 = 56 − 16 = 40
C = (5 + 9) × 6 − 14 = 14 × 6 − 14 = 84 − 14 = 70
D = [8 + 4 × (6 − 4)] ÷ 2 = [8 + 4 × 2] ÷ 2 = [8 + 8] ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × 8 − (9 + 3) = 9 × 8 − 12 = 72 − 12 = 60
6 × (5 × 6 − 3) = 6 × (30 − 3) = 6 × 27 = 162
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 44 × 99 = 44 × (100 − 1) = 44 × 100 − 44 × 1 = 4 400 − 44 = 4 356
G = 84 + 3,45 + 16 = 84 + 16 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 7 × 7 = 7² 5 × 5 × 5 = 5³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (3 + 5)² = 3² + 5² » Faux. (3 + 5)² = 8² = 64, alors que 3² + 5² = 9 + 25 = 34.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
78 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 78 < 81 = 9²) 90 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 90 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 3 = 4 × 25 − 3 = 100 − 3 = 97
B = (4 × 5)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 1 = 4 × 3² − 1 = 4 × 9 − 1 = 36 − 1 = 35
B = (4x)² − 1 = (4 × 3)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 2 et 37. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 9, 25.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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