Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 16 + 8 ÷ 4 = 16 + 2 = 18
B = (16 + 8) ÷ 4 = 24 ÷ 4 = 6
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × (15 − 6) est un produit : c'est le produit de 2 par la différence entre 15 et 6.
D = 2 × 6² − 3 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 6 et 3.
E = 2 + 16 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 2 et du quotient de 16 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 144 = 720 ≤ 721 < 725 = 5 × 145 : le quotient est 144, le reste 721 − 720 = 1.
721 = 5 × 144 + 1, avec 1 < 5.
23 × 97 = 2 231 ≤ 2 235 < 2 254 = 23 × 98 : le quotient est 97, le reste 2 235 − 2 231 = 4.
2 235 = 23 × 97 + 4, avec 4 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 124 = 14 × 9 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 124 = 14 × 8 + 12 : le reste 12 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 124 = 14 × 7 + 26 : le « reste » 26 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 8, reste 12.
3. 54 = 4 × 13 + 2, avec 2 < 4
a) Chaque joueur reçoit 13 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 4 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 306 | oui | non | non | non | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
| 955 | non | non | oui | non | non |
| 8 091 | non | oui | non | oui | non |
| 4 330 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
8 306 → 8 + 3 + 0 + 6 = 17 327 → 3 + 2 + 7 = 12 955 → 9 + 5 + 5 = 19
8 091 → 8 + 0 + 9 + 1 = 18 4 330 → 4 + 3 + 3 + 0 = 10
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 6 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 462, 468.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 118 est un multiple de 8. » Faux. 118 = 8 × 14 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 67 − 4 × 6 = 67 − 24 = 43
B = 6 × 5 − 3 × 2 = 30 − 6 = 24
C = 96 − 5 × (13 − 5) = 96 − 5 × 8 = 96 − 40 = 56
D = 2 × [23 − (9 + 5)] = 2 × [23 − 14] = 2 × 9 = 18
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 7) × 4 + 6 = 10 × 4 + 6 = 40 + 6 = 46
7 × 5 × (6 − 2) = 7 × 5 × 4 = 35 × 4 = 140
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 5 × 65 × 20 = 5 × 20 × 65 = 100 × 65 = 6 500
F = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
G = 15 × 101 = 15 × (100 + 1) = 15 × 100 + 15 × 1 = 1 500 + 15 = 1 515
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 5 × 5 × 5 = 5³ 8 × 8 = 8²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²)
45 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 45 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 3 = 2 × 25 − 3 = 50 − 3 = 47
B = (2 × 5)² − 3 = 10² − 3 = 100 − 3 = 97
C = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
D = (1 + 5)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : (a + 8)² = (6 + 8)² = 14² = 196
Pour a = 0,5 : (a + 8)² = (0,5 + 8)² = 8,5² = 72,25
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 49. » → encore 39 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16, 36.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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