Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (5 + 3) × 3 = 8 × 3 = 24
B = 5 + 3 × 3 = 5 + 9 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × (14 − 12) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 14 et 12.
D = 3 × 2² − 14 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 2 et 14.
E = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 25 = 225 ≤ 230 < 234 = 9 × 26 : le quotient est 25, le reste 230 − 225 = 5.
230 = 9 × 25 + 5, avec 5 < 9.
11 × 122 = 1 342 ≤ 1 344 < 1 353 = 11 × 123 : le quotient est 122, le reste 1 344 − 1 342 = 2.
1 344 = 11 × 122 + 2, avec 2 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 239 = 15 × 15 + 14 : le reste 14 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 239 = 15 × 16 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 239 = 15 × 14 + 29 : le « reste » 29 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 15, reste 14.
Comme 14 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 239 par 15 : quotient 15, reste 14.
3. 116 = 12 × 9 + 8, avec 8 < 12
a) Elle remplit 9 boîtes pleines.
b) Il reste 8 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 831 | non | oui | non | non | non |
| 625 | non | non | oui | non | non |
| 5 408 | oui | non | non | non | non |
| 3 590 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 177 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
831 → 8 + 3 + 1 = 12 625 → 6 + 2 + 5 = 13 5 408 → 5 + 4 + 0 + 8 = 17
3 590 → 3 + 5 + 9 + 0 = 17 3 177 → 3 + 1 + 7 + 7 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 5 + 6 + □ = 11 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 15
Une seule solution : 564.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 22 est pair mais 22 = 3 × 7 + 1.
« 7 est un diviseur de 175. » Vrai. 175 = 7 × 25 : le reste de la division de 175 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 64 − 2 × 3 = 64 − 6 = 58
B = 4 + 35 ÷ 5 × 4 = 4 + 7 × 4 = 4 + 28 = 32
C = 60 − 2 × (12 − 6) = 60 − 2 × 6 = 60 − 12 = 48
D = 6,3 + 5 × 0,2 = 6,3 + 1 = 7,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 × (3 + 7) − 7 = 3 × 10 − 7 = 30 − 7 = 23
3 + 2 − (2 + 2) = 3 + 2 − 4 = 5 − 4 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 46 × 25 = 4 × 25 × 46 = 100 × 46 = 4 600
F = 17 × 27 − 17 × 17 = 17 × (27 − 17) = 17 × 10 = 170
G = 21 × 99 = 21 × (100 − 1) = 21 × 100 − 21 × 1 = 2 100 − 21 = 2 079
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 5 × 5 × 5 = 5³ 11 × 11 = 11²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
36 = 6² : carré 51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 8 = 2 × 36 − 8 = 72 − 8 = 64
B = (2 × 6)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : a³ + 9 = 6³ + 9 = 216 + 9 = 225
Pour a = 10 : a³ + 9 = 10³ + 9 = 1 000 + 9 = 1 009
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 29 :
5² = 25 ≤ 29 et 6² = 36 > 29.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
29 − 25 = 4
b) Il lui restera 4 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 44 et 109. » → encore 64 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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